Orts- und Richt.vektor finden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Do 06.04.2006 | | Autor: | Apley |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie einen Orts- und zwei Richtungsvektoren der Ebene
E = { u = (x,y,z) u * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] = -2 } |
Hallo Leute,
ich wollte wissen ob ich das gut berechnet habe.
Also, mehrere Ortsvektoren bestimmten habe ich so gelöst:
Man wähle zwei Vektoren und löse nach x auf bestimme eine Orts und 2 Richtungsvektoren.
y = s
z = t
1x + 2y + 3z = -2 => 1x = -2 - s -t
y = s
z = t
Dadurch entsteht eine neue E
E={ [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] }
Ist das so richtig ?
Irgendwie habe ich ein Problem mit dieser Art von Vektorenfindung.
Habe als Bsp. leider nur den Vektor (1,1,1) und da wäre mein Weg richtig.
Die unten stehen Lösung habe ich als Musterlösung, aber leider komme ich nicht auf die Ergebnisse. Kann mich da jemand mal aufklären ?
E={ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}+ [/mm] t [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] }
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schon mal im Voraus
Apley
|
|
| |
|
Hallo Apley,
bist du sicher, dass du aufgabe und musterlösung richtig abgetippt hast? Setze ich $s=1,t=0$ oder $s=0,t=1$ erhalte ich beide male punkte, die nicht die ebenengleichung oben erfüllen....
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Do 06.04.2006 | | Autor: | Apley |
Zur Musterlösung. Ich hab sie etwas falsch abgetippt. Die Vektoren die oben angegeben werden wurden frei gewählt, und daraus wurden dann 2 richtungsvektoren ermittelt und einen Ortsvektor frei gewählt.
Als Richtungsvektor kommen
s [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] t [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
raus. Darauf komme ich auch. Aber nicht auf die Anfagsvektoren.
Ist denn meine Variante richtig?
Gruß
Apley
|
|
|
| |
|
Hallo Apley,
ich verstehe dein problem nicht so ganz: kommst du nicht auf den ortsvektor? Als ortsvektor kannst du jeden beliebigen punkt der ebene wählen, zb (-2,0,0).
Die richtungsvektoren würde ich dann berechnen, indem ich zwei vektoren wähle die senkrecht zum normalenvektor (1,2,3) stehen.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Do 06.04.2006 | | Autor: | ardik |
| Aufgabe |
a) Bestimmen Sie einen Orts- und zwei Richtungsvektoren der Ebene
E = { u = (x,y,z) u * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] = -2 }
|
> ich wollte wissen ob ich das gut berechnet habe.
Dein Lösungsweg ist elegant, aber fehlerhaft. 
> Also, mehrere Ortsvektoren bestimmten habe ich so gelöst:
>
> Man wähle zwei Vektoren und löse nach x auf bestimme eine
> Orts und 2 Richtungsvektoren.
>
> y = s
> z = t
>
> 1x + 2y + 3z = -2 => 1x = -2 - s -t
da sind die 2 und die 3 vor y und z (bzw. vor s und t) verloren gegangen.
>
> y = s
> z = t
>
> Dadurch entsteht eine neue E
Es sollte natürlich keine neue E(bene) entstehen, sondern eine neue Gleichung für die selbe Ebene.
> [mm]E={ \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} }[/mm]
Folgefehler wegen der velorenen 2 / 3.
Deine Richtungsvektoren stehen nicht senkrecht auf dem Normalenvektor [mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Das kannst Du leicht durch das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor überprüfen, welches ja 0 sein müsste:
[mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=-1 [/mm] + 2 = 1 [mm] \ne [/mm] 0$
> Ist das so richtig ?
Wie gesagt: Rechenweg ja, Rechnung nein.
Alternativ kannst Du Punkte auf der Ebenen bestimmen, indem Du zwei Koordinaten willkürlich wählst und durch Einsetzen in die Koordinatengleichung die dritte bestimmst. So ergibt sich für x=1 und y=0 dann eben z=-1, was zusammen den Stützvektor der Musterlösung ergibt.
Du könntest so drei verschiedenen Punkte ermitteln und daraus Richtungsvektoren berechnen.
Und die dritte Variante für die Richtungsvektoren wäre, über das Skalarprodukt aus Normalenvektor und Richtungsvektor zu gehen, das ja gleich null sein muss:
[mm] $\vec [/mm] {r} \ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] r_x [/mm] + [mm] 2r_y [/mm] + [mm] 3r_z [/mm] = 0$
Darin zwei der Komponenten von [mm] $\vec{r}$ [/mm] beliebig wählen, die dritte daraus berechnen.
Schöne Grüße,
ardik
> Die unten stehen Lösung habe ich als Musterlösung, aber
> leider komme ich nicht auf die Ergebnisse. Kann mich da
> jemand mal aufklären ?
>
> [mm]E={ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} }[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Danke schon mal im Voraus
>
> Apley
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Apley |
Ok, also jetzt meine endgültige Lösung.
E={ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] }
dazu habe ich für den Ortsvektor einfach x,z = 0 gesetzt und dann durch umformung 2y = -2 => y = -1
Dann habe ich den Normalvektor genommen eine Koord. zu null gesetzt, Zahlen vertauscht und ein Vorzeichen geändert.
Ist das jetzt so richtig?
Selbst nach der Prfüung kommt es dann immer 0 raus.
Falls es nicht richtig ist, was mach ich mit der 2y, 3z ? Ich weiß einfach nicht weiter.
Gruß
apley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Fr 07.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hi apley,
ja, das ist klasse, absolut ok.
> [mm]E=\{ \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \}[/mm]
>
> dazu habe ich für den Ortsvektor einfach x,z = 0 gesetzt
> und dann durch umformung 2y = -2 => y = -1
Ja, [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] eingesetzt in die Ebenengleichung aus der Aufgabenstellung geht ja auch wunderbar auf, dieser Punkt liegt also in der Ebene.
> Dann habe ich den Normalvektor genommen eine Koord. zu null
> gesetzt, Zahlen vertauscht und ein Vorzeichen geändert.
ok.
> Ist das jetzt so richtig?
Ja.
> Falls es nicht richtig ist, was mach ich mit der 2y, 3z ?
Obwohl es richtig ist, dennoch die Erläuterung:
$E: 1x + 2y + 3z = -2 [mm] \gdw [/mm] x = -2 - 2y - 3z$
Setze
$\ \ y = s$
$\ \ z = t$
in E ein:
$ x = -2 - 2s - 3t$
und mit
$ y = s = 0 + 1s + 0t$
$ z = t = 0 + 0s + 1t$
ergibt sich also:
E: [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Das ist fast identisch mit Deiner Lösung, lediglich hier mit einem anderen Stützvektor.
Alle Klarheiten beseitigt?
Gruß,
ardik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:04 Fr 07.04.2006 | | Autor: | Apley |
Hey Ardik, du bist meine Rettung. Gott sei dank bist du noch wach gewesen :) .
Morgen ist nähmlich schon meine Klausur und ich habe schon befürchtet das ich so spät keine Antwort mehr bekomme, denn die Aufgabe kommt morgen vor. Hatte schon leichte Panik das ich das falsch verstanden habe.
Ich habs jetzt auch verstanden was ich mit der 2 und 3 anfange. Eigentlich logisch :) Weiß auch nicht wieso ich nicht drauf gekommen bin.
Danke und Gruß
Apley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:08 Fr 07.04.2006 | | Autor: | ardik |
Viel Erfolg morgen - äh - nachher!
> und die nötige Portion Glück! <
|
|
|
|
