Ortskurve < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Skizzieren Sie die Ortskurve der Impedanz Z(C) als Funktion der Kapazität C bei
einer festen Kreisfrequenz [mm] \omega_{0} [/mm] . Es gelte [mm] \omega_{0}L [/mm] = R.
Geben Sie auch den Orientierungssinn sowie markante Punkte an. |
Hallo:)
Mein Ansatz um diese Aufgabe zu lösen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hab die Gleichung für die Impedanz der Schaltung aufgestellt:
[mm] \underline{Z}=\bruch{R^{2}*\omega*C+3*R^{3}*\omega^{2}*C^{2}+R-\omega*C*R^{2}}{1-2*\omega*C*R+5*R^{2}*\omega^{2}*C^{2}}+\bruch{j*(R^{3}*\omega^{2}*C^{2}+R-*R^{2}*\omega*C)}{1-2*\omega*C*R+5*R^{2}*\omega^{2}*C^{2}}
[/mm]
Dann habe ich die Gleichung für C=0 und [mm] C\to\infty [/mm] untersucht
[mm] \limes_{C\rightarrow 0} [/mm] = R+jR
[mm] \limes_{C\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{3R}{5}+\bruch{jR}{5}
[/mm]
Ich hab diese zwei Punkte in einem Koordinatensystem eingezeichnet, aber ich weiß nicht wie ich die Ortskurve zeichnen soll. Muss ich noch weiter markante Punkte suchen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im Voraus.
LG Bubbles
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Sa 15.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze [mm] 1/(\omega*C)=x*R [/mm] und trage dann in Abh. von x auf
dann erhälts du eine mit x parametrisierte Kurve
klammere R aus und lass sie dir plotten, zu Fu0 ist das mühsam. du solltest Teil einer Ellipse kriegen. auf der deine 2 Punkte leigen.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Sa 15.03.2014 | | Autor: | GvC |
> Hallo
> setze [mm]1/(\omega*C)=x*R[/mm] und trage dann in Abh. von x auf
> dann erhälts du eine mit x parametrisierte Kurve
> klammere R aus und lass sie dir plotten, zu Fu0 ist das
> mühsam. du solltest Teil einer Ellipse kriegen. auf der
> deine 2 Punkte leigen.
> Gruß leduart
Die Z-Ortskurve ist keine Ellipse und auch kein Teil davon, sondern Teil eines Kreises, dessen Mittelpunkt im I. Quadranten liegt.
Zur Vorgehensweise:
Bestimme die Z-Ortskurve des kapazitiven Zweiges. Das ist eine Parallele zur imaginären Achse im Abstand R im IV. Quadranten. Die Inversion dieser Halbgeraden ergibt einen Halbkreis durch den Ursprung im I. Quadranten mit Durchmeser [mm] G=\frac{1}{R} [/mm] und Mittelpunkt bei [mm] \frac{G}{2}. [/mm] Dieser Halbkreis wird um die Admittanz des induktiven Zweiges [mm]\underline{Y}_{LR}=\frac{G}{2}-j\frac{G}{2}[/mm] nach rechts unten verschoben. Der Mittelpunkt der Y-Ortskurve liegt also bei [mm] G-j\frac{G}{2}. [/mm] Der Halbkreis berührt demnach gerade die reelle Achse bei G. Die Z-Ortskurve ergibt sich durch Inversion der Y-Ortskurve, ergibt also einen Kreis im I. Quadranten bzw. einen Teil davon, der die reelle Achse bei R berührt. Anfangs- und Endpunkt der Ortskurve wurden bereits bestimmt. Die Mittelsenkrechte auf der Kreissehne, die durch Anfangs- und Endpunkt bestimmt ist, schneidet die im Abstand R verlaufende Parallele zur imaginären Achse im Mittelpunkt der kreisförmigen Z-Ortskurve.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 16.03.2014 | | Autor: | Melan |
> Dieser Halbkreis wird um die Admittanz des induktiven
> Zweiges [mm]\underline{Y}_{LR}=\frac{G}{2}-j\frac{G}{2}[/mm] nach
> rechts unten verschoben.
Ist die Admittanz des induktiven Zweiges nicht:
[mm] \underline{Y}_{LR} [/mm] = [mm] \bruch{R}{R+(\omega/L)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{j*\omega*L}{R+(\omega*L)^{2}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 16.03.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo melan,
das kann nicht sein, schau dir mal die Einheiten in Zähler und Nenner an. Das gibt keine Admittanz.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 16.03.2014 | | Autor: | GvC |
[mm]\underline{Y}_{LR}=\frac{1}{R+j\omega L}[/mm]
Laut Aufgabenstellung ist [mm]\omega L=R[/mm]
[mm]\underline{Y}_{LR}=\frac{1}{R+jR}=\frac{1}{R}\cdot\frac{1}{1+j}=\frac{1}{R}\cdot\frac{1-j}{1+1}=\frac{1}{2R}\left(1-j\right)=\frac{G}{2}-j\frac{G}{2}[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 16.03.2014 | | Autor: | Melan |
> Die Z-Ortskurve
> ergibt sich durch Inversion der Y-Ortskurve, ergibt also
> einen Kreis im I. Quadranten bzw. einen Teil davon, der die
> reelle Achse bei R berührt. Anfangs- und Endpunkt der
> Ortskurve wurden bereits bestimmt. Die Mittelsenkrechte auf
> der Kreissehne, die durch Anfangs- und Endpunkt bestimmt
> ist, schneidet die im Abstand R verlaufende Parallele zur
> imaginären Achse im Mittelpunkt der kreisförmigen
> Z-Ortskurve.
Ich hab nicht verstanden wie man auf die Z-Ortskurve kommt. Die Ortskurve für die Admittanz hab ich verstanden. Aber ich dachte, dass die Inversion eines Halbkreises eine Halbgerade ist!? Müsste die Z-Ortskurve nicht eine Gerade sein, mit:
[mm] \bruch{4R}{5}+\bruch{2Rj}{5}
[/mm]
Weil das wäre dann doch die invertierte Funktion der Y-Ortskurve.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 16.03.2014 | | Autor: | GvC |
Du solltest Dir die Inversionsregeln nochmal genauer anschauen. Nur ein Kreis durch den Nullpunkt ergibt invertiert eine Gerade. Diese Gerade ist nur dann eine Parallele zu einer der Achsen, wenn der Mittelpunkt auf einer der Achsen liegt.
Im vorliegenden Fall ist die Y-Ortskurve ein Kreis in allgemeiner Lage (nicht durch Null). Die Inversion eines Kreises in allgemeiner Lage ergibt nach allgemeinen Inversionsregeln wiederum einen Kreis in allgemeiner Lage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 16.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus dem Kreis wird eine Ellipse, wenn man auf beiden Achsen denselben Maßstab nimmt.
Gru0 leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 So 16.03.2014 | | Autor: | GvC |
> Hallo
> aus dem Kreis wird eine Ellipse, wenn man auf beiden
> Achsen denselben Maßstab nimmt.
> Gru0 leduart
Nein! Man bekäme eine Ellipse, wenn man ungleiche Maßstäbe wählen würde. Aber warum sollte man das tun und damit die ganzen schönen allgemeinen grafischen Inversionsregeln unbrauchbar machen einschließlich der Spiegelung einzelner Zeiger am Inversionskreis (die wir hier bei der Inversion von [mm] \underline{Z}_1 [/mm] eigentlich hätten anwenden müssen, aber gar nicht angewendet haben, da wir die Inversion wegen bekannter Werte rechnerisch vorgenommen haben). Außerdem würde man keine Beträge und Phasenlagen mehr direkt ablesen können. Das wäre also absolut schwachsinnig.
Schau Dir mal meine grafische Lösung von gestern (15.03.2014 um 16.03h) an. Sie basiert darauf, dass der Widerstandsmaßstab in der gesamten komplexen Ebene, also sowohl in reeller Richtung als auch in imaginärer Richtung derselbe ist. Dasselbe gilt für den Leitwertmaßstab.
Dabei habe ich, wie Du nachmessen kannst, folgende Maßstäbe gewählt:
[mm]m_z=\frac{1R}{4cm}[/mm]
und
[mm]m_y=\frac{1G}{4cm}[/mm]
Irgendwie scheinst Du auf einem vollkommen falschen Dampfer zu sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Sa 15.03.2014 | | Autor: | bubblesXD |
Danke hab's verstanden:)
LG Bubbles
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Sa 15.03.2014 | | Autor: | GvC |
Wenn Du die Maßstäbe für Y und Z so wählst, dass die Längen für G und R gleich lang sind, muss sich folgende Ortskurve ergeben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
EDIT: Das Fragezeichen soll eigentlich "unendlich" heißen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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