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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo ihr Lieben!
Ersteinmal frohe Ostern ;)
Jaa...mal wieder sitzte ich an Mathe.
Diesmal versuche ich mich an der Funktionsuntersuchung einer Funktionsschar.
Als letzte Aufgabe wird nach der Ortskurve der TP gefragt.
Also, das hat mich ehrlichgesagt ein bisschen überfordert.
Anschaulich weiß ich, was das ist und ich habe auch noch in Erinnerung, dass man die Koordinaten des TPs in diesem Falle als Gleichung nutzt.
Wie man dann aber genau auf die Ortskurve kommt, weiß ich nciht.
Vielleicht hat ja jemand nochmal Zeit, mir das zu erläutern?!
Es geht um folgende Funktion
[mm] f_a(x)=\bruch{-x^3 + 4a^3}{ax^2}
[/mm]
Meine Ableitungen:
[mm] f'_a(x)=\bruch{- x^3 + 8a^3}{ax^3}
[/mm]
[mm] f''_a(x)=\bruch{24a^2}{x^4}
[/mm]
Darus habe ich dann folgenden TP errechnet:
TP(2a/3)
Und jetzt bräuchte ich Hilfe für die Ortskurve :)
LG, Amy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 So 23.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Amy,
auch Dir schöne Ostern.
wie Du auf Deine Ableitungen gekommen bist, weiss ich nicht so recht. Auf jeden Fall musst Du die ![[]](/images/popup.gif) Quotientenregel benutzen und damit werden Die Ausdrücke doch eine Ecke komplizierter als dies bei Dir der Fall ist.
Probier es noch mal aus.
Viel Erfolg,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo!
Danke erstmal für die schnelle Reaktion ;)
Also...um ehrlich zu sein, habe ich die Quotientenregel benutzt und dann nur soweit vereinfacht, wie es meiner Meinung nah möglich ist...
Ich poste mal die Zwischenschritte:
[mm] f_a(x)=\bruch{-x^3 + 4a^3}{ax^2}
[/mm]
[mm] f'_a(x)=\bruch{(-3x^2)(ax^2) - (-x^3+4a^3)(2ax)}{(ax^2)^2}
[/mm]
[mm] f'_a(x)=\bruch{-3ax^4+2ax^4-8a^4x}{a^2x^4}
[/mm]
Dann hab ich ax im Zähler ausgeklammert und rausgekürzt, dan den Rest verrechnet
[mm] f'_a(x)=\bruch{-x^3+8a^3}{ax^3}
[/mm]
[mm] f''_a(x)=\bruch{(-3x^2)(ax^3) - (-x^3-8a^3)(3ax^2)}{(ax^3)^2}
[/mm]
[mm] f''_a(x)=\bruch{-3ax^5+3ax^5+24a^4x^2}{a^2x^6}
[/mm]
Dann hab ich wieder im Zähler ausgeklammert, diesmal [mm] a^2x^2 [/mm]
[mm] f''_a(x)=\bruch{24a^2}{x^4}
[/mm]
Ist das falsch so?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Vielen, vielen Dank! :)
Das beruhigt mich schonmal, wenn die Ableitungen so richtig sind...
Ich habe, glaube ich jedenfalls, auch bei der Extremwertberechnung den Vorzeichen-/Schreibfehler mitgeschleppt...:S
Dann ergäbe sich für mich nach erneuter Berechnung jetzt der TP (-2a/3)
Wenn mir jetzt vielleicht nochmal jemand das mit der Ortskurve erklären könnte?!
LG & Danke nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 So 23.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Siehe hier ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Amy,
> auch Dir schöne Ostern.
> wie Du auf Deine Ableitungen gekommen bist, weiss ich nicht
> so recht. Auf jeden Fall musst Du die
> Quotientenregel
> benutzen und damit werden Die Ausdrücke doch eine Ecke
Entschuldigung,
kann man zwar, muss man hier aber nicht.
Der gegebene Funktionsterm lässt sich vereinfachen zu [mm] \bruch{-x}{a}+ \bruch{4a^2}{x^2}.
[/mm]
Bei der Angabe der Ableitungen wurden die beiden Teilbrüche unnötigerweise wieder vereinigt.
Die angegebene erste Ableitung hat lediglich einen Vorzeichenfehler.
Gruß Abakus
Übrigens: Wenn es auch nach dieser Fehlerkorrektur dabei bleibt, dass die y-Koordinate des Tiefpunkts für alle a konstant ist, dann liegen die Tiefpunkte auf einer Parallelen zur y-Achse.
> komplizierter als dies bei Dir der Fall ist.
> Probier es noch mal aus.
> Viel Erfolg,
> Infinit
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Hi abakus,
deine Aussage ist falsch:
> Übrigens: Wenn es auch nach dieser Fehlerkorrektur dabei
> bleibt, dass die y-Koordinate des Tiefpunkts für alle a
> konstant ist, dann liegen die Tiefpunkte auf einer
> Parallelen zur y-Achse .
Wenn die y-Werte alle gleich sind, liegen alle Tiefpunkte auf einer Parallelen zur x-Achse!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi abakus,
>
> deine Aussage ist falsch:
> > Übrigens: Wenn es auch nach dieser Fehlerkorrektur dabei
> > bleibt, dass die y-Koordinate des Tiefpunkts für alle a
> > konstant ist, dann liegen die Tiefpunkte auf einer
> > Parallelen zur y-Achse .
>
> Wenn die y-Werte alle gleich sind, liegen alle Tiefpunkte
> auf einer Parallelen zur x-Achse!
>
Autsch.
Ich könnte mich damit rausreden, dass das x unmittelbar neben der y-Taste liegt und ich mich nur vertippt habe ...
Hab hier wohl gepennt.
Danke für die Korrektur.
Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 So 23.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Du hast hier noch einen kleinen Vorzeichenfehler in der 1. Ableitung. Diese muss lauten:
[mm] $$f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x^3 \ \red{-} \ 8a^3}{a*x^3} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{x^3+8a^3}{a*x^3}$$
[/mm]
Damit ergibt sich als Extremum der Hochpunkt Tiefpunkt: [mm] $T_a [/mm] \ [mm] \left( \ \red{-}2a \ | \ 3 \ \right)$
[/mm]
Für die Ortskurve musst Du nun die Beziehung [mm] $x_T [/mm] \ = \ -2a$ nach $a \ = \ ...$ umformen und in die Ausgangsfunktionsgleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 So 23.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Da der Funktionswert des Hochpunktes mit $f(-2a) \ = \ 3$ unabhängig ist vom Paramter $a_$ , kann man bereits hier erkennen, dass alle Hochpunkte auf der Geraden [mm] $y_H [/mm] \ = \ 3$ liegen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Wie kommst du denn auf einen HP?!
Wenn ich -2a in die 2. Ableitung einsetze, dann kommt doch ein positives Ergebnis
[mm] f_a''(-2a) [/mm] = [mm] \bruch{24a^2}{-2a^4} [/mm] = [mm] \bruch{3a^2}{2} [/mm] > 0
-> TP
Für die y-Koordinate
[mm] f_a(-2a) [/mm] = [mm] \bruch{-(-2a)^3+a^3}{a*(-2a)^2} [/mm] = [mm] \bruch{8a^3+4a^3}{-2a^3} [/mm] = -6
Also jetzt komme ich irgendwie nichtmehr auf 3 oder -3, sonder auf -6?!
Aber wie man auf einen HP kommt, ist mir momentan nicht so ganz klar?!
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 So 23.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Du hast Recht: es handelt sich um einen Tiefpunkt. Ich hatte
zunächst die falsche Funktion betrachtet.
> Für die y-Koordinate
> [mm]f_a(-2a)[/mm] = [mm]\bruch{-(-2a)^3+a^3}{a*(-2a)^2}[/mm] = [mm]\bruch{8a^3+4a^3}{-2a^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= -6
Du musst im Nenner auch die $(-2)_$ quadrieren, so dass dort steht: $\red{+4}*a^3}$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 So 23.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
Siehe auch hier ...
Du musst also aus der Gleichung $x \ = \ -2*a$ nach $a \ = \ ...$ umstellen und dieses $a_$ anschließend in die Ausgangsfunktionsvorschrift $y \ = \ [mm] f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-x^3+4a^3}{a*x^2}$ [/mm] einsetzen. Dann solltest Du auch wiederum $y \ = \ 3$ erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Okay...
Also ich habe TP(-2a/-3)
Daraus die Gleiungen
x=-2a und y=-3
Jetzt forme ich um
x=-2a <-> a= [mm] \bruch{-x}{2}
[/mm]
Und das soll ich dann in diese Gleichung einsetzen?!
[mm] f_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{-x^3+4a^3}{ax^2}
[/mm]
Dann wäre das
[mm] f_a(a) [/mm] = [mm] \bruch{-x^3+4(\bruch{-x}{2})^3}{\bruch{-x}{2}*x^2}
[/mm]
Muss ich das so einfach zu Ende rechnen?
Oder setze ich das ganze noch gleich -3?!
Vielleicht hab ich es auch ganz falsch verstanden?!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Okay...also...
[mm] f_a(a) [/mm] = [mm] \bruch{-x^3+4(\bruch{-x}{2})^2}{\bruch{-x}{2}*x^2}
[/mm]
[mm] f_a(a) [/mm] = [mm] \bruch{-x^3 - \bruch{4x^3}{8}}{\bruch{-x^3}{2}}
[/mm]
[mm] f_a(a) [/mm] = [mm] \bruch{-x^3-\bruch{1x^3}{2}}{\bruch{-1x^3}{2}}
[/mm]
[mm] f_a(a) [/mm] = [mm] \bruch{-x^3(1+\bruch{1}{2})}{\bruch{1x^3}{2}}
[/mm]
[mm] f_a(a) [/mm] = 3
Das heißt also...all meine TPs liegen auf der Geraden x=3 oder liegen sie auf y=3?!
Und...kann ich dieses Verfahren^^ bei jeder Ortskurvenberechnung anwenden?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 So 23.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Amy!
> [mm]f_a(a)[/mm] = 3
>
> Das heißt also...all meine TPs liegen auf der Geraden x=3
> oder liegen sie auf y=3?!
Sie liegen auf $f(x) \ = \ [mm] \red{y} [/mm] \ = \ 3$ .
> Und...kann ich dieses Verfahren^^ bei jeder
> Ortskurvenberechnung anwenden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 So 23.03.2008 | | Autor: | Amy1988 |
Vielen, vielen Dank!
Du hast mir wirklich sehr geholfen!
Ich habe das jetzt wenigstens soweit verstanden. Ortaskurven sollten mir keine Probleme mehr bereiten
Bis sicherlich bald :-P
Amy
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Alles richtig!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] $T_a [/mm] \ [mm] \left( \ -2a \ | \ \red{+}3 \ \right)$ [/mm] .
