Ortskurve bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Nr.1
Gegeben ist die Funktionsschar fa ("a" ist dabei tiefgestellt) mit [mm] fa(x)=x^2-ax^3+1
[/mm]
a) Zeigen sie, dass die Wendepunkte der Schar alle auf einer Parabel liegen und bestimmen sie die zugehörige Gleichung. |
| Aufgabe 2 | | b) Die Graphen von fa schließen mit der Geraden y=1 für x>0 eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a und bestimmen Sie, für welchen Wert von a diese Fläche 144 Flächeneinheiten groß ist. |
Hallo,
ich habe zwei Mathematikaufgaben, wo ich mir nicht recht sicher bin, ob dass Ergebnis richtig ist. Die zweite allerdings habe ich noch nicht gemacht. Dazu später mehr.
Meine Rechnung+Ergebnis lautet:
Zuerst bilde ich die Ableitungen:
[mm] f´a(x)=2x-3ax^2
[/mm]
f´´a(x)=2-6ax
f´´´a(x)=-6a
1.Notwenige Bedingung:
f´´a(x)=0 2-6ax=0 (-2 auf die andere Seite bringen)
-6ax=-2 ( /(-6a)
x=1/3a
2.Hinreichende Bedingung:
f´´´a(1/3a)=-6a (das ist ungleich Null->Wendepunkt liegt vor
3.y-Koordinate bestimmen:
[mm] fa(1/3a)=(1/3a)^2-a*(1/3a)^3+1
[/mm]
[mm] =1/9a^2-a*(1/27a^3)+1
[/mm]
[mm] =1/9a^2-1/27a^4+1
[/mm]
[mm] WP(1/3a...1/9a^2-1/27a^4+1)
[/mm]
x-Wert: 1/3a [mm] y-Wert:1/9a^2-1/27a^4+1)
[/mm]
Jetzt muss ich noch die Ortskurve bestimmen, wo die Wendepunkte (in diesem Fall nur einer) liegen
x=1/3a (durch 1/3 teilen)
3x=a
[mm] y=1/9a^2-1/27a^4+1
[/mm]
[mm] y=1/9(3x)^2-1/27(3x)^4+1
[/mm]
Wenn man das vereinfacht, dann kommt folgendes heraus:
[mm] y=x^2-3x^4+1
[/mm]
Aber ich glaube,dass das nicht richtig sein kann. Es müsste eigentlich eine Funktion mit der gleichung [mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] (Parabel) herauskommen oder wie seht ihr das? Mein Fehler liegt wahrscheinlich irgendwo bei der Null-bzw.Wendestelle. Ich bin mir unsicher, ob die richtig ist.
b)
Also hier muss ich glaub ich die Ausgangsfunktion [mm] (fa(x)=x^2-ax^3+1) [/mm] mit y=1 gleichsetzen und anschließend die Nullstellen berechnen. Wenn ich die Schnittstellen herausbekomme, dann muss ich das Integral zwischen diesen beiden Stellen in Abhängigkeit von a bestimmen. Und zum Schluss die Lösung mit 144 gleichsetzen und nach a umformen oder wie seht ihr das?
Leider weiß ich nicht wie ich genau die Nullestellen berechnen soll.
Mein Ansatz:
[mm] x^2-ax^3+1=1 [/mm] ( die 1 auf die andere Seite bringen )
[mm] x^2-ax^3=0 [/mm] ( x ausklammern)
[mm] x*(x-ax^2)=0 [/mm] ( somit wäre meine erste Nullstelle bei x=0
jetzt noch mal die Klammer gleich Null setzen.
[mm] x-ax^2=0 [/mm]
Ab diesem Punkt weiß ich nicht so genau, wie ich weiter vorgehen soll, um die anderen Schnittstellen zu bestimmen. Ich hoffe, dass meine Vorgehensweise kein Mist ist und für euch nachvollziehbar ist.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt ( http://www.e-hausaufgaben.de/Thema-188758-Funktionsscharen-Wendepunkte-Integralrechnung.php )
Danke im voraus :D
|
|
| |
|
Hallo MathematikLosser,
> Nr.1
> Gegeben ist die Funktionsschar fa ("a" ist dabei
> tiefgestellt) mit [mm]fa(x)=x^2-ax^3+1[/mm]
>
> a) Zeigen sie, dass die Wendepunkte der Schar alle auf
> einer Parabel liegen und bestimmen sie die zugehörige
> Gleichung.
> b) Die Graphen von fa schließen mit der Geraden y=1 für
> x>0 eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser
> Fläche in Abhängigkeit von a und bestimmen Sie, für
> welchen Wert von a diese Fläche 144 Flächeneinheiten
> groß ist.
> Hallo,
>
> ich habe zwei Mathematikaufgaben, wo ich mir nicht recht
> sicher bin, ob dass Ergebnis richtig ist. Die zweite
> allerdings habe ich noch nicht gemacht. Dazu später mehr.
>
> Meine Rechnung+Ergebnis lautet:
>
> Zuerst bilde ich die Ableitungen:
>
> [mm]f´a(x)=2x-3ax^2[/mm]
> f´´a(x)=2-6ax
> f´´´a(x)=-6a
>
> 1.Notwenige Bedingung:
> f´´a(x)=0 2-6ax=0 (-2 auf die andere Seite bringen)
> -6ax=-2 ( /(-6a)
> x=1/3a
>
> 2.Hinreichende Bedingung:
>
> f´´´a(1/3a)=-6a (das ist ungleich Null->Wendepunkt liegt
> vor
>
> 3.y-Koordinate bestimmen:
>
> [mm]fa(1/3a)=(1/3a)^2-a*(1/3a)^3+1[/mm]
> [mm]=1/9a^2-a*(1/27a^3)+1[/mm]
Hier musst Du so rechnen:
[mm]=\left(\bruch{1}{3a}\right)^{2}-a*\left(\bruch{1}{3a}\right)^{3}+1[/mm]
> [mm]=1/9a^2-1/27a^4+1[/mm]
>
> [mm]WP(1/3a...1/9a^2-1/27a^4+1)[/mm]
>
> x-Wert: 1/3a [mm]y-Wert:1/9a^2-1/27a^4+1)[/mm]
>
> Jetzt muss ich noch die Ortskurve bestimmen, wo die
> Wendepunkte (in diesem Fall nur einer) liegen
>
> x=1/3a (durch 1/3 teilen)
> 3x=a
>
> [mm]y=1/9a^2-1/27a^4+1[/mm]
>
> [mm]y=1/9(3x)^2-1/27(3x)^4+1[/mm]
>
> Wenn man das vereinfacht, dann kommt folgendes heraus:
>
> [mm]y=x^2-3x^4+1[/mm]
>
> Aber ich glaube,dass das nicht richtig sein kann. Es
> müsste eigentlich eine Funktion mit der gleichung
> [mm]f(x)=ax^2+bx+c[/mm] (Parabel) herauskommen oder wie seht ihr
> das? Mein Fehler liegt wahrscheinlich irgendwo bei der
> Null-bzw.Wendestelle. Ich bin mir unsicher, ob die richtig
> ist.
>
> b)
> Also hier muss ich glaub ich die Ausgangsfunktion
> [mm](fa(x)=x^2-ax^3+1)[/mm] mit y=1 gleichsetzen und anschließend
> die Nullstellen berechnen. Wenn ich die Schnittstellen
> herausbekomme, dann muss ich das Integral zwischen diesen
> beiden Stellen in Abhängigkeit von a bestimmen. Und zum
> Schluss die Lösung mit 144 gleichsetzen und nach a
> umformen oder wie seht ihr das?
>
> Leider weiß ich nicht wie ich genau die Nullestellen
> berechnen soll.
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]x^2-ax^3+1=1[/mm] ( die 1 auf die andere Seite bringen )
> [mm]x^2-ax^3=0[/mm] ( x ausklammern)
> [mm]x*(x-ax^2)=0[/mm] ( somit wäre meine erste Nullstelle bei
> x=0
>
> jetzt noch mal die Klammer gleich Null setzen.
>
> [mm]x-ax^2=0[/mm]
> Ab diesem Punkt weiß ich nicht so genau, wie ich weiter
> vorgehen soll, um die anderen Schnittstellen zu bestimmen.
Faktorisiere die rechte Seite, dann hast
Du die Schnittstellen unmittelbar dastehen.
> Ich hoffe, dass meine Vorgehensweise kein Mist ist und für
> euch nachvollziehbar ist.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt (
> http://www.e-hausaufgaben.de/Thema-188758-Funktionsscharen-Wendepunkte-Integralrechnung.php
> )
> Danke im voraus :D
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Bei 1b) Faktorisieren also wieder ein x ausklammern und x nach a umformen ungefähr so oder was meinst du genau?
[mm] x-ax^2=0
[/mm]
x*(ax)=0
ax=0 ( durch a teilen)
x=0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x-ax^2=x*(1-ax) [/mm] =0
1. x=0
2. 1-ay=0
dein Ergebnis ist falsch.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Warum ist jetzt plötzlich ein y da? Hast du dich vielleicht vertippt?
1-ay=0 (-1)
-ay=-1 ( durch -a)
y=1a
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo das ging zu schnell und deshalb leichtsinnig, rechne neu!
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Also ist die andere Nullstelle bei x= 1a ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Do 13.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Zu Aufgabenteil a) sicherheitshalber, weil es noch nicht da steht
> $ [mm] y=1/9(3x)^2-1/27(3x)^4+1 [/mm] $
> Wenn man das vereinfacht, dann kommt folgendes heraus:
> $ [mm] y=x^2-3x^4+1 [/mm] $
> Aber ich glaube,dass das nicht richtig sein kann.
Da hast Du Recht.
Es ist vorher ein Fehler aufgetreten:
> $ [mm] f_a\left(\bruch{1}{3a}\right)=\left(\bruch{1}{3a}\right)^2-a\cdot{}\left(\bruch{1}{3a}\right)^3+1 [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{1}{9a^2}-a\cdot{}(\bruch{1}{27a^3})+1 [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{1}{9a^2}-\bruch{1}{27a^4}+1 [/mm] $
Nicht doch, einmal steht a im Zähler und damit kürzt sich das gegen eines im Nenner.
$ [mm] =\bruch{1}{9a^2}-\bruch{1}{27a^2}+1 [/mm] $
Zu Aufgabenteil b)
> Mein Ansatz:
> $ [mm] x^2-ax^3+1=1 [/mm] $ ( die 1 auf die andere Seite bringen )
> $ [mm] x^2-ax^3=0 [/mm] $ ( x ausklammern)
> $ [mm] x\cdot (x-ax^2)=0 [/mm] $ ( somit wäre meine erste Nullstelle bei x=0 )
Und nun geht es genau so weiter.
[mm] $(x-ax^2)=0 [/mm] $ ( x ausklammern)
$ x(1-ax) = 0$ ( somit wäre meine erste auch die zweite Nullstelle bei x=0 )
$ 1-ax = 0 $ ( ax auf die andere Seite bringen )
$ 1 = ax $ (durch a teilen)
$ [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = x$
> Also ist die andere Nullstelle bei x= 1a ?
Nein, siehe oben.
|
|
|
| |
|
Vielen Danke :)
Ich bin noch dabei die Ortkurve zu bestimmen!
Als nächstes muss ich den x-Wert nach dem Parameter umformen.
x=1/3a (durch 1/3 teilen)
3x=a
Der nächste Schritt wäre a in y-wert einzusetzen:
[mm] y=1/9a^2-1/27a^2+1
[/mm]
[mm] y=1/9(3x)^2-1/27(3x)^2+1
[/mm]
[mm] y=1/9(9x^2)-1/27(9x^2)+1
[/mm]
[mm] y=1/91x^2-1/243x^2+1
[/mm]
Das wären dann die Ortskurve, wo alle Wendepunkte liegen (in diesem Fall nur einer)
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Do 13.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Du musst entweder richtig Brüche schreiben mit \bruch{Zähler}{Nenner} oder wenigstens die Klammern setzen. Ohne die hast Du den gleichen Fehler schon wieder gemacht.
> ...
> x=1/3a (durch 1/3 teilen)
Da fehlt die Klammer x = 1/(3a)
> 3x=a
Daher stimmt das nicht und der Rest auch nicht.
|
|
|
| |
|
[mm] x=\bruch{1}{3a} [/mm] (mal 3?
[mm] 3x=\bruch{1}{a} [/mm]
Tut mir Leid, dass ich mich so doof anstelle. Aber das ist mein erstes Mal, dass ich hier was schreibe. Soll trotzdem keine Entschuldigung für meine dumme Aktionen sein. Ist das denn jetzt richtig oder immernoch falsch? Ich glaube, es ist falsch. :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Do 13.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib jetzt mal ne gesamte Rechnung hin, z.T geht das ja mit copy-paste, sonst kann man nichts mehr kontrollieren, so viel in alten posts kann man gar nicht rumskrollen.
Ich auf jeden Fall find mich nicht mehr zurecht.
Fang an mit Wendeounkt: aufschreiben ist der war ja richtig,
dann deine gesamte Rechnung danach.
setze Klammern und vermeide zu viele Leichtsinnsfehler.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
[mm] f´a(x)=2x-3ax^2 [/mm]
f´´a(x)=2-6ax
f´´´a(x)=-6a
1.Notwenige Bedingung:
f´´a(x)=0 2-6ax=0 (-2 auf die andere Seite bringen)
-6ax=-2 ( /(-6a)
x=1/3a
2.Hinreichende Bedingung:
f´´´a(1/3a)=-6a (das ist ungleich Null->Wendepunkt liegt vor
3.y-Koordinate bestimmen
$ [mm] f_a\left(\bruch{1}{3a}\right)=\left(\bruch{1}{3a}\right)^2-a\cdot{}\left(\bruch{1}{3a}\right)^3+1 [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{1}{9a^2}-a\cdot{}(\bruch{1}{27a^3})+1 [/mm] $
> $ [mm] =\bruch{1}{9a^2}-\bruch{1}{27a^4}+1 [/mm] $
Nicht doch, einmal steht a im Zähler und damit kürzt sich das gegen eines im Nenner.
$ [mm] =\bruch{1}{9a^2}-\bruch{1}{27a^2}+1 [/mm] $
X-Wert nach Parameter umformen
$ [mm] x=\bruch{1}{3a} [/mm] $ (mal 3?
$ [mm] 3x=\bruch{1}{a} [/mm] $
|
|
|
| |
|
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bestimmt werden soll die Ortskurve der Wendepunkte der Funktionenschar mit
[mm] f_a(x)=x^2-ax^3+1.
[/mm]
Welche Angaben sind in der Aufgabe über a gemacht? a>0?
An einer Stelle wird dies nämlich eine Rolle spielen...
> [mm]f'_a(x)=2x-3ax^2[/mm]
> f''_a(x)=2-6ax
> f'''_a(x)=-6a
>
> 1.Notwenige Bedingung:
> f´´a(x)=0 2-6ax=0 (-2 auf die andere Seite bringen)
> -6ax=-2 ( /(-6a)
> x=1/3a
>
> 2.Hinreichende Bedingung:
>
> f´´´a(1/3a)=-6a (das ist ungleich Null->Wendepunkt liegt
> vor
sofern [mm] a\not=0.
[/mm]
>
> 3.y-Koordinate bestimmen
>
> [mm]f_a\left(\bruch{1}{3a}\right)=\left(\bruch{1}{3a}\right)^2-a\cdot{}\left(\bruch{1}{3a}\right)^3+1[/mm]
> > [mm]=\bruch{1}{9a^2}-a\cdot{}(\bruch{1}{27a^3})+1[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{9a^2}-\bruch{1}{27a^2}+1[/mm]
Also sind die Kooedinaten des Wendepunktes [mm] W(\bruch{1}{3a}|\bruch{1}{9a^2}-\bruch{1}{27a^2}+1).
[/mm]
>
> X-Wert nach Parameter umformen
>
> [mm]x=\bruch{1}{3a}[/mm] (mal 3?
>
> [mm]3x=\bruch{1}{a}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Warum brichst Du hier einfach ab?
Du wolltest doch nach a auflösen.
Also weiter
mit a multiplizieren:
3xa=1 \qquad |:3x
a=\bruch{1\{3x}
Dieses a mußt Du nun in y=\bruch{1}{9a^2}-\bruch{1}{27a^2}+1 einsetzen.
Damit hast Du dann die Ortskurve der Wendepunkte und kannst Dir Gedanken darüber machen, ob es eine Parabel ist.
LG Angela
|
|
|
|
