Ortskurven < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Di 03.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | gegeben sei die Abbildung [mm] \underline{w}=f(\underline{z})=\bruch{2\underline{z}+2j}{\underline{z}+2j}
[/mm]
3) Bilden Sie die Ortskurve [mm] \underline{z}(t)=-2j+j*e^{j*t} (0\le [/mm] t [mm] \le 2\pi) [/mm] mit f in die w-Ebene ab. |
Hallo,
also [mm] \underline{z}(t) [/mm] scheint eine Summe aus einer komplexen Zahl mit nur einem Imaginärteil und einem Produkt zweier komplexer Zahlen zu sein. Wenn dies tatsächlich so wäre, dann müsste [mm] \underline{z}(t)=-2j+j*e^{j*t}=0-2j+j*e^{j*t}=2e^{-90j*t}+1e^{90j}*e^{j*t}
[/mm]
Die ersten Zeilen sind laut Lösung
1. [mm] \underline{z}1(t)=e^{j*t}
[/mm]
Hier wurde ein Kreis mit dem Radius r=1 gezeichnet und dem Mittelpunkt im Ursprung. t=0 ist bei P(1;1), [mm] t=\bruch{\pi}{2} [/mm] ist bei P{0;1}
2. [mm] \underline{z}2(t)=-j*\underline{z}1(t)=e^{j\bruch{\pi}{2}}*\underline{z}1(t)
[/mm]
Hier ist t=0 ist bei (0;1), [mm] t=\bruch{\pi}{2} [/mm] ist bei P(0;-1)
Bereits diese Zeilen sind für mich unverständlich, wie erklären sich diese? Wie sollte man weiter vorgehen?
|
|
| |
|
Unklarheit bereinigt:
Könntest du uns mitteilen, was die unterstrichenen Zeichen
wie z , w bedeuten
---> offenbar einfach eine Hervorhebung komplexer Zahlen
und ob mit j eventuell die imaginäre Einheit gemeint ist,
die sonst jedermann mit einem gewöhnlichen i bezeichnet ?
---> eben doch nicht jedermann: in der Elektrotechnik
ist das i für Stromstärke reserviert, darum j
statt i für die imaginäre Einheit
LG al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Owen |
also mit j ist das i gemeint, und welche Zeichen meinst du außerdem?
|
|
|
| |
|
> also mit j ist das i gemeint, und welche Zeichen meinst du
> außerdem?
die unterstrichenen, wie z , w , etc.
erledigt - siehe frühere Mitteilung !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Owen |
Naja z ist die Ortskurve, die abgebildet werden soll und w bezieht sich auf die Aufgabenteile davor. Ist eigentlich für diesen Aufgabenteil nicht relevant, habe es vorsichtshalber beigefügt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Mi 04.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Owen
kennst du nicht die Schreibweise [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] dabei ist r die Länge, [mm] \phi [/mm] der Winkel zur reellen Achse. statt [mm] \phi [/mm] t zu schreiben ändert nichts. [mm] z=1*e^{it} [/mm] beschreibt also die Punkte auf dem Einheitskreis
mit z=x+iy [mm] r=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] t=arctan(y/x) ist dasselbe beschrieben, denn du weisst hoffentlich dass [mm] x^2+y^2=1 [/mm] der Einheitskreis um 0 ist.
2. Multiplikation mit j dreht um 90° bzw [mm] \pi/2 [/mm] es ist also derselbe einheitskreis, nur mit nem anderen Anfangspunkt für t=0 der erste war (1,0) der neue ist (0,1)
im nächsten Schritt addierst du diesen Kreis zu -2j das wäre dann [mm] z=-2j+j*e^{it}
[/mm]
ein Einheitskreis mit dem mittelpunkt (0,-2)
Jetzt sollst du das in w einsetzen, und fesstellen, was dabei rauskommt!
Du solltest wieder einen Kreis mit anderem Mittelpunkt finden!
Wenn dirs schwerfällt, such erstmal, wo der Mittelpunkt hinkommt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Hallo Owen
kennst du nicht die Schreibweise $ [mm] z=r\cdot{}e^{i\phi} [/mm] $ dabei ist r die Länge, $ [mm] \phi [/mm] $ der Winkel zur reellen Achse. statt $ [mm] \phi [/mm] $ t zu schreiben ändert nichts. $ [mm] z=1\cdot{}e^{it} [/mm] $ beschreibt also die Punkte auf dem Einheitskreis
mit z=x+iy $ [mm] r=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ t=arctan(y/x) ist dasselbe beschrieben, denn du weisst hoffentlich dass $ [mm] x^2+y^2=1 [/mm] $ der Einheitskreis um 0 ist.
2. Multiplikation mit j dreht um 90° bzw $ [mm] \pi/2 [/mm] $ es ist also derselbe einheitskreis, nur mit nem anderen Anfangspunkt für t=0 der erste war (1,0) der neue ist (0,1)
im nächsten Schritt addierst du diesen Kreis zu -2j das wäre dann $ [mm] z=-2j+j\cdot{}e^{it} [/mm] $
ein Einheitskreis mit dem mittelpunkt (0,-2)
Jetzt sollst du das in w einsetzen, und fesstellen, was dabei rauskommt!
Du solltest wieder einen Kreis mit anderem Mittelpunkt finden!
Wenn dirs schwerfällt, such erstmal, wo der Mittelpunkt hinkommt.
Gruss leduart |
Hallo leduart,
ich habe die Sache nicht ganz verstanden. Also der erste Schritt ist mir nun klar. Das i dreht den Kreis um 90° weiter, so entsteht der neue Punkt t bei (0;1). Der darauffolgende Schritt ist mir nicht mehr klar. Weshalb wird es jetzt zu -2i addiert? Ich würde denken, dass der Kreis nun wieder um 90° gedreht wird und der neue Punkt t=0 bei (-1,0) liegt. Oder weshalb wird der Kreis erst gedreht und dann -2i addiert und nicht umgekehrt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 05.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Owen
dein endgültiges z war doch $ [mm] \underline{z}(t)=-2j+j\cdot{}e^{j\cdot{}t} (0\le [/mm] $
also das besprochene [mm] z_2 [/mm] +(-2j) d.h. zu jeem Punkt von [mm] z_2 [/mm] wird -2j addiert. d.h. der gesamte kreis wird um 2 nach unten geschoben! (addition dreht nicht!)
dabei kommt natürlich der Punkt (0,1)von [mm] z_2 [/mm] nach (0,-1) von z. der Punkt (0,-1) also [mm] t=\pi [/mm] kommt nach (0,-3) usw.
Allgemein: Addition verschiebt, Multiplikation dreht (und streckt)
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Owen |
Vielen Dank, habe ich jetzt begriffen.
|
|
|
|
