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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 29.01.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | | Ermittle die Ortslinie der Extremstellen von der Funktionsschar gegeben durch [mm] f_t(x)=[/mm] [mm]\bruch{4x^3+tx-t^3}{x}[/mm] |
Habe zuerst die erste Ableitung mit der Quotientenregel gemacht und bin auf folgendes Ergebnis gekommen: [mm] f´(x)=8x+t^3 [/mm] Nun habe ich dies null gesetzt und nach x aufgelöst. da komme ich auf x=[mm]\bruch{-t^3}{8}[/mm]
Dies muss ich ja nun für x in die Ausgangsfunktion einsetzen um einen Wert für y zu haben aber ab da komme ich nicht weiter. Habe ich vielleicht einen Fehler bis hier gemacht und wenn nicht wie gehe ich jetzt weiter vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Do 29.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
die Ableitung nach der Quotientenregel ist falsch.
$$ [mm] f(x)=\bruch{\overbace{4x^3+tx-t^3}^{u}}{\underbrace{x}_{v}} [/mm] $$
$$ [mm] f'(x)=\bruch{\overbace{(12x²+t)}^{u'}\overbace{x}^{v}-\overbace{1}^{v'}\overbace{(4x^3+tx-t^3)}^{u}}{\underbrace{x²}_{v²}} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{12x³+tx-4x^3-tx+t^3}{x²} [/mm] $$
$$ [mm] =\bruch{8x³+t^3}{x²} [/mm] $$
Das wird dann Null, wenn
[mm] 8x^{3}+t³=0
[/mm]
[mm] \gdw x³=\bruch{-t³}{8}=\left(-\bruch{t}{2}\right)^{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=-\bruch{t}{2}
[/mm]
Dann
[mm] f\left(-\bruch{t}{2}\right)=\bruch{4\left(-\bruch{t}{2}\right)^{3}+t*\left(-\bruch{t}{2}\right)-t³}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\bruch{4t³}{8}-\bruch{t²}{2}-t³}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\left[\bruch{t³}{2}+\bruch{t²}{2}+\bruch{2t³}{2}\right]}{-\bruch{t}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{t³+t²+2t³}{2}}{\bruch{t}{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{3t³+t²}{2}*\bruch{2}{t}
[/mm]
[mm] =3t^{2}+t
[/mm]
Die Ortskurve überlasse ich jetzt dir.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 29.01.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Stimmt. Danke!!!!!
Jetzt löse ich -[mm]\bruch{t}{2}[/mm]=x nach t auf das ist t=-2x und dann habe ich dies t in [mm] 3t^2+t [/mm] eingesetzt welches die ortslinie ergeben soll. als ergebnis habe ich also [mm] 3(-2x)^2-2x
[/mm]
ist dies so richtig?
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Dies ist korrekt, war ja auch nicht so schwer, oder? ;)
Damit wäre deine endgültige Gleichung [mm] y=12x^2-2x
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Do 29.01.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Danke schön!!!!!!
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Quotientenregel