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Hallo zusammen!
Also... Hab das Problem, dass ich net weiß, wie ich bei einer Funktion mit Parametern die Extrempunkte berechnen kann... Ja, klar, erste Ableitung gleich Null setzen...
AUßerdem... WIE bestimmt man die Ortslinie?
Die Aufgabe heißt:
UNTERSUCHE DIE FUNKTION IN ABHÄNGIGKEIT VON k AUF EXTREMPUNKTE.
außerdem:
BESTIMME DIE ZUGEHÖRIGEN ORTSLINIEN!
(k ist Element aller rationalen Zahlen!)
f(x)=
2x³+x²-4kx-3k
--------------- (soll der Bruchstrich sein!)
[mm] x^4 [/mm]
Erste Ableitung müsste
f'(x)=
-2 * ( x³+x²-6kx-6k)
-----------------------
[mm] x^5 [/mm]
Wär super lieb, wenn ihr mir weiterhelfen könntet!!
DAAANKE!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Sa 12.02.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo zusammen!
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Hallo
> f(x)=
>
> 2x³+x²-4kx-3k
> --------------- (soll der Bruchstrich sein!)
> [mm]x^4[/mm]
>
> Erste Ableitung müsste
>
> f'(x)=
>
> -2 * ( x³+x²-6kx-6k)
> -----------------------
> [mm]x^5[/mm]
>
Richtig
Deine Schwierigkeit ist die Gleichung dritten Grades, das ist auch schwer. Aber es gibt einen Meksatz fuer Schueler: Immer erst mal x =1 und x=-1 probieren! (wenn das nicht klappt noch +2 und - 2. hier ist es x=-1
Du kannst aus ( x³+x²-6kx-6k) =0 ausklammern
x²(x+1) -6k*(x+1)=0 so erste Nullstelle bei x=-1, dann durch x+1 teilen und die naechsten 2 finden. dann musst du evt. noch Maxima und Minima feststellen.
bis auf x=-1 haengen die Extrema ja von k ab. bestimm noch die f(x) Werte dann hast du alle Pkt. x,y schmeiss k raus und du hast die Kurve auf der alle werte liegen.
das ist noch Arbeit aber machbar!
Gruss leduart
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Hallo, STeffichen
inzwischen zumindest, hast Du's aber auch
dort
http://www.mathehotline.de/cgi-bin/mathe4u/hausaufgaben/show.cgi?9308/381888
gpostet.
Deine Ableitung stimmt
und wenn aus [mm] $x^3+x^2$ [/mm] das [mm] $x^2$ [/mm] ausklammerst und aus den $-6k*x - 6k$ die $-6k$
dann
wirst Du sehen daß die 0stellen einfach bestimmbar sind.
Die Postition der Extrempunkte sind dann Funktionen von k: $x=X(k), y=f( X(k) )$
Wenn Du die Gleichung $x = X(k)$ und nach k umstellst und diese dann in f einsetzt
erhältst Du die Gleichung der Ortsline.
Gruß
F.
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Schon mal vielen Dank... War ja echt net so schwer und wenn mich nicht alles täuscht liegen die Extremstellen bei [mm] x=\wurzel{6k} [/mm] ; [mm] x=-\wurzel{6k} [/mm] und x=-1
So... Aber hab das mit der Ortslinie noch immer nicht verstanden... Was meinst du mit "Gleichung x=X(k) nach k umstellen"?
Sorry, wenn ich das net so gleich verstanden hab!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
> Schon mal vielen Dank... War ja echt net so schwer und wenn
> mich nicht alles täuscht liegen die (möglichen) Extremstellen bei
> [mm]x=\wurzel{6k}[/mm] ; [mm]x=-\wurzel{6k}[/mm] und x=-1
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Hast Du auch schon die Art der Extrema überprüft (Maximum oder Minimum) ??
> So... Aber hab das mit der Ortslinie noch immer nicht
> verstanden... Was meinst du mit "Gleichung x=X(k) nach k
> umstellen"?
Wir haben ja [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] \pm \wurzel{6k}$
[/mm]
Durch Umformen erhalten wir doch: $k \ = \ [mm] k(x_E) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_E^2}{6}$
[/mm]
Dieses nun in die Ausgangsfunktionsvorschrift [mm] $f_k(x)$ [/mm] einsetzen für $k$:
[mm] $f_k(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x^3+x^2-4kx-3k }{x^4}$
[/mm]
[mm] $y_E(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x^3+x^2-4*\left(\bruch{x^2}{6}\right)*x-3*\left(\bruch{x^2}{6}\right)}{x^4}$
[/mm]
Dies nun noch zusammenfassen ... Voilà !
Loddar
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Hey Thorsten!
> Hast Du auch schon die Art der Extrema
> überprüft (Maximum oder Minimum) ??
>
Nee, hab ich net... Weil ja immer noch das k da wäre und ich nicht weiß, wie ich damit umgehen muss um die Aussage daraus zu ziehen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist...
Als 2. Ableitung hab ich
[mm] f_{k}= 2\*\bruch{(-2x³-3x²+24kx+30k)}{x^{6}}
[/mm]
>
> Wir haben ja [mm]x_E \ = \ \pm \wurzel{6k}[/mm]
> Durch Umformen
> erhalten wir doch: [mm]k \ = \ k(x_E) \ = \ \bruch{x_E^2}{6}[/mm]
>
>
> Dieses nun in die Ausgangsfunktionsvorschrift [mm]f_k(x)[/mm]
> einsetzen für [mm]k[/mm]:
>
> [mm]f_k(x) \ = \ \bruch{2x^3+x^2-4kx-3k }{x^4}[/mm]
>
> [mm]y_E(x) \ = \ \bruch{2x^3+x^2-4*\left(\bruch{x^2}{6}\right)*x-3*\left(\bruch{x^2}{6}\right)}{x^4}[/mm]
>
>
Also ist [mm] f_{k}=\bruch{1\bruch{1}{3}x+\bruch{1}{2}}{x²}
[/mm]
die Ortslinie?
Wie mach ich das denn dann bei x=-1... Einfach einsetzen?
Ist das dann nicht der y Wert??
Vielen Dank noch mal, Steffi
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Außerdem gibt es noch die Aufgabe:
Prüfe, ob es eine Stelle [mm] x_{0} [/mm] gibt, sodass alle Funktionsgraphen [mm] f_{k} [/mm] an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] die selbe Steigung haben.
Also man braucht natürlich die erste ABleitung... Das Ergebnis der Steigung muss von k unabhängig sein, oder?
Ich muss also der Frage auf dem Grung gehen, bei welchem x-Wert die Steigung aller k's gleich ist.
ABER WIE??
Lieben Dank, Steffi
p.s. Hätte ich doch ma keinen MatheLK gewählt... :-(
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Hallo!
Wollte nochmal kurz hierauf zurückkommen:
> Nee, hab ich net... Weil ja immer noch das k da wäre und
> ich nicht weiß, wie ich damit umgehen muss um die Aussage
> daraus zu ziehen, ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist...
> Als 2. Ableitung hab ich
> [mm]f_{k}= 2\*\bruch{(-2x³-3x²+24kx+30k)}{x^{6}}
[/mm]
Das wird ziemlich kompliziert. Einfacher ist es wohl, über Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung zu argumentieren. Hier hast Du ja schon die Faktorisierung der Funktion vorgenommen. Ansonsten hilft es auch,die POlstellen zu untersuchen, und wie sich die FUnktionen für [mm] $\pm\infty$ [/mm] verhalten. Im Übrigen wundert mich, dass [mm] $k\in\IQ$ [/mm] gegeben ist. Die Aufgabe wäre wesentlich einfacher, wenn nur negative $k$ zugelassen wären. Dann hätte man nämlich nur [mm] $x_E=-1$. [/mm] So muss man ja drei Ortslinien berechnen.
> >
> > Wir haben ja [mm]x_E \ = \ \pm \wurzel{6k}[/mm]
> > Durch
> Umformen
> > erhalten wir doch: [mm]k \ = \ k(x_E) \ = \ \bruch{x_E^2}{6}[/mm]
>
> >
> >
> > Dieses nun in die Ausgangsfunktionsvorschrift [mm]f_k(x)[/mm]
> > einsetzen für [mm]k[/mm]:
> >
> > [mm]f_k(x) \ = \ \bruch{2x^3+x^2-4kx-3k }{x^4}[/mm]
> >
> > [mm]y_E(x) \ = \ \bruch{2x^3+x^2-4*\left(\bruch{x^2}{6}\right)*x-3*\left(\bruch{x^2}{6}\right)}{x^4}[/mm]
>
> >
> >
> Also ist [mm]f_{k}=\bruch{1\bruch{1}{3}x+\bruch{1}{2}}{x²}
[/mm]
> die Ortslinie?
>
> Wie mach ich das denn dann bei x=-1... Einfach einsetzen?
Hier musst Du gar nichts mehr machen. Die Ortslinie lautet einfach $x=-1$; das ist eine Parallele zur $y$-Achse durch (-1/0).
Viele Grüße
Brigitte
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Außerdem gibt es noch die Aufgabe:
Prüfe, ob es eine Stelle [mm] x_{0} [/mm] gibt, sodass alle Funktionsgraphen [mm] f_{k} [/mm] an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] die selbe Steigung haben.
Also man braucht natürlich die erste ABleitung... Das Ergebnis der Steigung muss von k unabhängig sein, oder?
Ich muss also der Frage auf dem Grung gehen, bei welchem x-Wert die Steigung aller k's gleich ist.
ABER WIE??
Lieben Dank, Steffi
p.s. Hätte ich doch ma keinen MatheLK gewählt... :-(
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Hallo Steffi!
Du suchst doch einen Punkt an dem die 1. Ableitung unabhängig von k wird, oder?
[mm] $f_k'(x) [/mm] = [mm] \bruch{-2 * (x^3 + x^2 - 6kx - 6k)}{x^5}$
[/mm]
das bedeutet
$ - 6kx - 6k= 0$
Damit solltest Du weiterkommen.
Gruss
Eberhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 13.02.2005 | | Autor: | STeffichen |
Na da hätt ich ma echt selber drauf kommen müssen...
Vielen lieben Dank!! 
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Zu der gleichen Funktion soll ich auch noch den Flächeninhalt der von den Graphen von [mm] f_{0} [/mm] und [mm] f_{-1} [/mm] eingeschlossenen Fläche berechnen...
Allerdings erhalte ich nur einen Schnittpunkt von den beiden Graphen und zwar [mm] x=\bruch{-3}{4}
[/mm]
Was ist denn bei nur einem Schnittpunkt meine Intervallgrenze???
Liebe Grüße, Steffi
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Hallo Steffi!
[mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} f(x) =0 [/mm]
Eine untere Grenze von -100 sollte Dir die Fläche mit ausreichender Genauigkeit liefern.
Altenativ kannst Du ja mal -1000 probieren.
Gruss
Eberhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 So 13.02.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo nochmal!
> Eine untere Grenze von -100 sollte Dir die Fläche mit
> ausreichender Genauigkeit liefern.
> Altenativ kannst Du ja mal -1000 probieren.
Na ja, Du kannst doch bestimmt auch
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{-3/4} (f_0(x)-f_{-1}(x))\,dx$
[/mm]
ausrechnen, oder?
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 So 13.02.2005 | | Autor: | informix |
> Hallo nochmal!
>
> > Eine untere Grenze von -100 sollte Dir die Fläche mit
> > ausreichender Genauigkeit liefern.
> > Altenativ kannst Du ja mal -1000 probieren.
>
> Na ja, Du kannst doch bestimmt auch
>
> [mm]\int\limits_{-\infty}^{-3/4} (f_0(x)-f_{-1}(x))\,dx[/mm]
>
> ausrechnen, oder?
und zwar als Grenzwert der unteren Grenze:
$ [mm] \limes_{z\rightarrow -\infty}{\integral_z^{-\bruch{3}{4}} {(f_0(x)-f_{-1}(x))\,dx}}$
[/mm]
du berechnest zuerst das Integral mit der "festen" unteren Grenze als einen Term, in dem noch z vorkommt, und dann läßt du in diesen Term z gegen [mm] -\infty [/mm] gehen.
Probiers mal, es geht!
>
> Viele Grüße
> Brigitte
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Ist die richtige ANtwort 4/1/12?
Wieso ist denn die untere Intervallgrenze [mm] -\infty?
[/mm]
Danke, Steffi
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Hallo Steffi!
Sorry, dass keiner mehr geantwortet hat, aber das lag wohl daran, dass Du Deine Frage als Mitteilung markiert hattest...
> Ist die richtige ANtwort 4/1/12?
Was hast Du genau gerechnet? Mein Ergebnis ist 32/27.
> Wieso ist denn die untere Intervallgrenze [mm]-\infty?[/mm]
Du hast ja schon bemerkt, dass es keinen weiteren Schnittpunkt gibt. Da beide Funktionen für [mm] $x\to -\infty$ [/mm] aber gegen 0 streben, nähern sich auch die Funktionen [mm] $f_0$ [/mm] und [mm] $f_{-1}$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$ [/mm] immer weiter an. Die Differenz [mm] $g:=f_0-f_{-1}$ [/mm] strebt daher gegen 0 für [mm] $x\to\infty$ [/mm] und man berechnet somit die Fläche, die von $g$ zusammen mit der $x$-Achse bis zur Nullstelle $-3/4$ eingeschlossen wird.
Viele Grüße
Brigitte
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Ortskurve![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
