PDGL auf GDGL zurückführen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 23.09.2010 | | Autor: | jack0 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Gleichung
- [mm] \Delta [/mm] u + u = 0 in [mm] \IR^3
[/mm]
Finden Sie eine radialsymmetrische Lösung, indem Sie die PDGL auf eine gewöhnliche Differentialgleichung zurückführen. Lösen Sie die entstehende GDGL für u(r) mit Hilfe der Transformation w(r) :=r*u(r) |
Hallo,
ich habe bei der Lösung dieser Aufgabe Probleme.
Es wurde noch der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten für radialsymmetrische Felder mit angegeben. Also [mm] \Delta [/mm] = [mm] \bruch{d^2}{dr^2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{r} \bruch{d}{dr}.
[/mm]
Wenn ich das einsetze komme ich auf
[mm] u_{rr} [/mm] + [mm] \bruch{2}{r} u_{r} [/mm] -u =0
Dies kann man ja auch schreiben als
[mm] (r^2 u_r)_r [/mm] = +u
Ich weiß allerdings nicht wie ich dann weitermache und wie ich die Transformation anwenden soll.
Viele Grüße
Jack
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Hallo jack0,
> Wir betrachten die Gleichung
> - [mm]\Delta[/mm] u + u = 0 in [mm]\IR^3[/mm]
> Finden Sie eine radialsymmetrische Lösung, indem Sie die
> PDGL auf eine gewöhnliche Differentialgleichung
> zurückführen. Lösen Sie die entstehende GDGL für u(r)
> mit Hilfe der Transformation w(r) :=r*u(r)
>
> Hallo,
> ich habe bei der Lösung dieser Aufgabe Probleme.
>
> Es wurde noch der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten für
> radialsymmetrische Felder mit angegeben. Also [mm]\Delta[/mm] =
> [mm]\bruch{d^2}{dr^2}[/mm] + [mm]\bruch{2}{r} \bruch{d}{dr}.[/mm]
>
> Wenn ich das einsetze komme ich auf
>
> [mm]u_{rr}[/mm] + [mm]\bruch{2}{r} u_{r}[/mm] -u =0
>
> Dies kann man ja auch schreiben als
>
> [mm](r^2 u_r)_r[/mm] = +u
Muss das hier nicht so lauten:
[mm](r^2 u_r)_r = +\red{r^{2}}u[/mm]
>
> Ich weiß allerdings nicht wie ich dann weitermache und wie
> ich die Transformation anwenden soll.
Setze jetzt für u=u(r) die Transformation
[mm]u\left(r\right)=\bruch{w\left(r\right)}{r}[/mm]
in die Gleichung
[mm]u_{rr} + \bruch{2}{r} u_{r} -u =0 [/mm]
ein.
> Viele Grüße
> Jack
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Do 23.09.2010 | | Autor: | jack0 |
Hallo MathePower,
danke, das hat mir schon einmal sehr geholfen.
Ich hab dann u(r) = [mm] \bruch{w(r)}{r} [/mm] und [mm] u_r(r) [/mm] = [mm] \bruch{w'(r)*r-w(r)}{r^2} [/mm] eingesetzt. Durch ein paar Umformungen bin ich dann auf
w''(r) - w(r) = 0
gekommen. Das hab ich dann mit der Lösungsmethode der Konstanten Koeffizienten gelöst und bin dann auf die Lösung [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 e^r [/mm] gekommen.
Ist das dann die Lösung der PDGL oder muss ich da nochmal etwas zurück transformieren?
Viele Grüße,
Jack
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Hallo jack0,
> Hallo MathePower,
>
> danke, das hat mir schon einmal sehr geholfen.
> Ich hab dann u(r) = [mm]\bruch{w(r)}{r}[/mm] und [mm]u_r(r)[/mm] =
> [mm]\bruch{w'(r)*r-w(r)}{r^2}[/mm] eingesetzt. Durch ein paar
> Umformungen bin ich dann auf
> w''(r) - w(r) = 0
> gekommen. Das hab ich dann mit der Lösungsmethode der
> Konstanten Koeffizienten gelöst und bin dann auf die
> Lösung [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2 e^r[/mm] gekommen.
>
> Ist das dann die Lösung der PDGL oder muss ich da nochmal
> etwas zurück transformieren?
Das ist zunächst die Lösung für [mm]w=w\left(r\right)[/mm]
Dann ist [mm]u=u\left(r\right)=\bruch{w\left(r\right)}{r}=\bruch{C_1 + C_2 e^r}{r}[/mm]
>
> Viele Grüße,
> Jack
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Do 23.09.2010 | | Autor: | jack0 |
thx
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