PDG 2 Orndung auf Normalform T < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] 2z_{xx}-12z_{xy}+13z_{yy}+z_{x}-3z_{y}=0 [/mm] |
Hallo zusammen
Bin gerade beim Thema PDG und verzweifel langsam.
Habe folgendes Problem:
Habe hier folgende PDG 2 Ordnung
[mm] 2z_{xx}-12z_{xy}+13z_{yy}+z_{x}-3z_{y}=0
[/mm]
In der Aufgabe steht: Transforieren sie die PDG auf Normalform.
Bis jetzt hab ich herausgefunden, das ich folgendermassen vorgehen muss:
1. zugehörige Quadratische Gleichung erstellen
2. aus 1 den Typ der PDG ermitteln
3. charakteristiken aufstellen ???????????
4. Die eigentliche Transformation durchführen
5. Alles Partiell Ableiten und in die Hautpgleichung einsetzen
#####################################################
Meine Frage besteht nur im Punk3, wie komme ich auf y und 3x+y? Sehe da keine Logik?
######################################################
1. Quadratische Gleichung + Nullstellen
Hier habe ich die Koeff. der doppelten Ableitungen genommen also von [mm] u_{xx} [/mm] u.s.w
[mm] 2z^{2} [/mm] -12z+18=0
[mm] z_1=3
[/mm]
[mm] z_2=3
[/mm]
2. Typ der PDG
Also Parabolische PDG, da dopplete Nullstelle
3. Charakteristiken
s und t sind die Transformierten, also neuen Koordinaten, wie ich verstanden habe
s=y
und
t=3x+y
tx/ty =3
4. Transformation
z(x,y)=u(s,t)=u(y,3x+y)
5. Alle Partiellen Ableitungen bilden + Einsetzen
...
Ableitungen in Ausgangsgleichung einsetzen, vereinfachen -> Normalform
...
Für Hilfe wär ich sehr dankbar
Gruss Ben
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo sbmiles21,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]2z_{xx}-12z_{xy}+13z_{yy}+z_{x}-3z_{y}=0[/mm]
> Hallo zusammen
>
> Bin gerade beim Thema PDG und verzweifel langsam.
> Habe folgendes Problem:
>
> Habe hier folgende PDG 2 Ordnung
> [mm]2z_{xx}-12z_{xy}+13z_{yy}+z_{x}-3z_{y}=0[/mm]
Die PDG 2. Ordnung muß doch so lauten:
[mm]2z_{xx}-12z_{xy}+1\red{8}z_{yy}+z_{x}-3z_{y}=0[/mm]
>
> In der Aufgabe steht: Transforieren sie die PDG auf
> Normalform.
>
> Bis jetzt hab ich herausgefunden, das ich folgendermassen
> vorgehen muss:
> 1. zugehörige Quadratische Gleichung erstellen
> 2. aus 1 den Typ der PDG ermitteln
> 3. charakteristiken aufstellen ???????????
> 4. Die eigentliche Transformation durchführen
> 5. Alles Partiell Ableiten und in die Hautpgleichung
> einsetzen
>
> #####################################################
>
> Meine Frage besteht nur im Punk3, wie komme ich auf y und
> 3x+y? Sehe da keine Logik?
> ######################################################
Wendest Du die Transformation an, dann erhältst Du eine
DGL 2. Ordnung in nur einer Variablen.
>
> 1. Quadratische Gleichung + Nullstellen
>
> Hier habe ich die Koeff. der doppelten Ableitungen genommen
> also von [mm]u_{xx}[/mm] u.s.w
>
> [mm]2z^{2}[/mm] -12z+18=0
> [mm]z_1=3[/mm]
> [mm]z_2=3[/mm]
>
> 2. Typ der PDG
>
> Also Parabolische PDG, da dopplete Nullstelle
>
> 3. Charakteristiken
>
> s und t sind die Transformierten, also neuen Koordinaten,
> wie ich verstanden habe
>
> s=y
> und
> t=3x+y
>
> tx/ty =3
>
> 4. Transformation
>
> z(x,y)=u(s,t)=u(y,3x+y)
>
> 5. Alle Partiellen Ableitungen bilden + Einsetzen
> ...
> Ableitungen in Ausgangsgleichung einsetzen, vereinfachen
> -> Normalform
> ...
>
>
>
>
> Für Hilfe wär ich sehr dankbar
>
>
> Gruss Ben
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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Hallo
Leider verstehe ich nicht was du meinst.
Wa muss ich mit der Quadratischen Gleichung machen um auf diese 3x+y und y zu kommen?
Gruss
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also ich habe versucht die Qudratische Gleichung abzuleiten u.s.w, komme aber nicht drauf ;(*
Wäre super, wenn du/ihr mir helfen könnt. Weiss da nicht mehr weiter...
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Hallo sbmiles21,
> also ich habe versucht die Qudratische Gleichung abzuleiten
> u.s.w, komme aber nicht drauf ;(*
>
> Wäre super, wenn du/ihr mir helfen könnt. Weiss da nicht
> mehr weiter...
Hier hilft wohl die Berechung der
Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
[mm]\pmat{2 & -6 \\ -6 & 18}[/mm]
weiter.
Gruss
MathePower
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Hallo sbmiles21,
> Hallo
> Leider verstehe ich nicht was du meinst.
Wenn ich die gegebene Transformation,
sowie sämtliche partielle Ableitungen
in die partielle DGL 2. Ordnung einsetze,
dann entsteht eine DGL,
die nur von einer Variablen abhängig ist
> Wa muss ich mit der Quadratischen Gleichung machen um auf
> diese 3x+y und y zu kommen?.
Schätzungsweise, die Eigenwerte und Eigenvektoren
der quadratischen Gleichung berechnen,
um die in deren Normalform zu überführen.
>
> Gruss
Gruß
MathePower
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