P auf g mit Abstand 200 zu E < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Fr 17.04.2020 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ein Flugzeug fliegt auf der Geraden g
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{40 \\ -220 \\ 80} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 10 \\ 0}
[/mm]
auf eine Ebene E zu
E: [mm] 3*x_1 [/mm] - [mm] 4*x_2 [/mm] = -400.
Die Längeneinheit ist Meter, der Parameter s gibt die Zeit in Sekunden an.
Bestimmen Sie den Punkt P, an dem das Flugzeug noch 200 m von E entfernt ist. |
Moin Moin,
ok, ich könnte mit der HNF den Punkt P auf der Geraden bestimmen, der 200 m von E entfernt liegt.
d = | [mm] \bruch{3x_1 -4x_2 +400}{\wurzel{3^2 + (-4)^2 +0^2}} [/mm] | = 200
Ein beliebiger Punkt auf der Geraden hat die Koordinaten [mm] \vektor{40 \\ -220 +10*s \\ 80}
[/mm]
d = | [mm] \bruch{3*40 -4*(-220+10s) +400}{5} [/mm] | = 200
d = | 280 -8s | = 200
1. Fall 280 -8s [mm] \ge [/mm] 0 280 -8s = 200 => s = 10
2. Fall 280 -8s < 0 -280 +8s = 200 => s = 60
Da das Flugzeug zunächst [mm] \vektor{40 \\ -220 \\ 80} [/mm] passiert, ist der gesuchte Punkt bei s = 10 zu finden, da bei s = 60 das Flugzeug die Ebene bereits durchquert hat.
P (40 \ -120 \ 80)
***
Mir geht es um einen anderen Lösungsweg. Ist es möglich, P auch über das Lotfußpunktverfahren zu bestimmen?
In den meisten Aufgaben wird ein Punkt P vorgegeben, und zu diesem soll dann der Abstand d zur Ebene berechnet werden.
Hier wird aber der Punkt P gesucht und der Abstand d ist vorgegeben.
Meine Ideen:
Der Punkt P läßt sich mithilfe der Geradengleichung allgemein ausdrücken:
P (40 \ -220 +10s \ 80)
Ein Lotfußpunkt L hat die Koordinaten [mm] (l_1 [/mm] \ [mm] l_2 [/mm] \ [mm] l_3) [/mm]
Ich könnte den Vektor [mm] \vec{PL} [/mm] bilden und da dieser orthogonal zu E ist , müsste
[mm] \vec{PL} [/mm] = [mm] \lambda*\vec{n} [/mm] sein.
I. [mm] l_1 [/mm] -40 = [mm] 3*\lambda [/mm]
II. [mm] l_2 [/mm] - (-220 + 10s) = [mm] -4*\lambda
[/mm]
III. [mm] l_3 [/mm] - 80 = [mm] \lambda*0
[/mm]
Komme ich so überhaupt zu einer Lösung?
Danke & Gruß!
P.S.
1) aus III. folgt [mm] l_3 [/mm] = 80.
2) Da | [mm] \overrightarrow{PL} [/mm] | 0 = 200 folgt 200 = | [mm] \wurzel{(3*\lambda)^2 + (-4*\lambda)^2 + 0^2} [/mm] |
200 = [mm] \pm 25*\lambda_{1,2} [/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = 40 bzw. [mm] \lambda_2 [/mm] = -40
3) aus I. folgt [mm] l_1 [/mm] - 40 = [mm] 3*\lambda [/mm]
[mm] l_1 [/mm] -40 = 3*40 bzw. [mm] l_1 [/mm] -40 = 3*(-40)
[mm] l_1 [/mm] = 160 bzw. [mm] l_1 [/mm] = -80.
[mm] l_2 [/mm] - (-220 +10s) = [mm] -4*\lambda [/mm]
[mm] l_2 [/mm] - (-220 +10s) = -160 bzw. [mm] l_2 [/mm] - (-220 +10s) = 160
Allerdings fehlt mir immer noch [mm] l_2 [/mm] und s ???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Fr 17.04.2020 | | Autor: | statler |
> Ein Flugzeug fliegt auf der Geraden g
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{40 \\ -220 \\ 80}[/mm] + [mm]r*\vektor{0 \\ 10 \\ 0}[/mm]
>
> auf eine Ebene E zu
>
> E: [mm]3*x_1[/mm] - [mm]4*x_2[/mm] = -400.
>
>
> Die Längeneinheit ist Meter.
>
>
> Bestimmen Sie den Punkt P, an dem das Flugzeug noch 200 m
> von E entfernt ist.
>
Hi!
> ok, ich könnte mit der HNF den Punkt P auf der Geraden
> bestimmen, der 200 m von E entfernt liegt.
>
>
> d = | [mm]\bruch{3x_1 -4x_2 +400}{\wurzel{3^2 + (-4)^2 +0^2}}[/mm]
> | = 200
>
>
> Ein beliebiger Punkt auf der Geraden hat die Koordinaten
> [mm]\vektor{40 \\ -220 +10*s \\ 80}[/mm]
>
>
>
> d = | [mm]\bruch{3*40 -4*(-220+10s) +400}{5}[/mm] | = 200
>
> d = | 280 -8s | = 200
>
> 1. Fall 280 -8s [mm]\ge[/mm] 0 280 -8s = 200 => s = 10
>
>
> 2. Fall 280 -8s < 0 -280 +8s = 200 => s = 60
>
>
> Da das Flugzeug zunächst [mm]\vektor{40 \\ -220 \\ 80}[/mm]
> passiert, ist der gesuchte Punkt bei s = 10 zu finden, da
> bei s = 60 das Flugzeug die Ebene bereits durchquert hat.
Diese Interpretation gibt die Aufgabe so nicht her(, weil nirgends steht, daß der Parameter s die Zeit bedeuten soll).
>
> P (40 \ -120 \ 80)
>
>
> ***
>
> Mir geht es um einen anderen Lösungsweg. Ist es möglich,
> P auch über das Lotfußpunktverfahren zu bestimmen?
>
> In den meisten Aufgaben wird ein Punkt P vorgegeben, und zu
> diesem soll dann der Abstand d zur Ebene berechnet werden.
>
> Hier wird aber der Punkt P gesucht und der Abstand d ist
> vorgegeben.
>
>
> Meine Ideen:
>
>
> Der Punkt P läßt sich mithilfe der Geradengleichung
> allgemein ausdrücken:
>
> P (40 \ -220 +10s \ 80)
>
>
> Ein Lotfußpunkt L hat die Koordinaten [mm](l_1[/mm] \ [mm]l_2[/mm] \ [mm]l_3)[/mm]
>
>
> Ich könnte den Vektor [mm]\vec{PL}[/mm] bilden und da dieser
> orthogonal zu E ist , müsste
>
> [mm]\vec{PL}[/mm] = [mm]\lambda*\vec{n}[/mm] sein.
>
> I. [mm]l_1[/mm] -40 = [mm]3*\lambda[/mm]
> II. [mm]l_2[/mm] - (-220 + 10s) = [mm]-4*\lambda[/mm]
> III. [mm]l_3[/mm] - 80 = [mm]\lambda*0[/mm]
>
>
> Komme ich so überhaupt zu einer Lösung?
>
> Danke & Gruß!
>
>
>
> P.S.
>
> 1) aus III. folgt [mm]l_3[/mm] = 80.
>
> 2) Da | [mm]\vec{PL}[/mm] | 0 = 200 folgt 200 =
> [mm]\wurzel{(3*\lambda)^2 + [-4*\lambda)^2 + 0^2}[/mm]
>
> 200 = [mm]25*\lambda[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = 40
oder [mm] $\lambda [/mm] = -40$
> 3) aus I. folgt [mm]l_1[/mm] - 40 = [mm]3*\lambda[/mm]
>
> [mm]l_1[/mm] -40 = 3*40
>
> [mm]l_1[/mm] = 160.
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> [mm]l_2[/mm] - (-220 +10s) = -160
>
> Allerdings fehlt mir immer noch [mm]l_2[/mm] und s ???
Der Lotfußpunkt muß in der Ebene liegen, also gibt es einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten:
$3 [mm] \cdot [/mm] 160 - 4 [mm] \cdot l_{2} [/mm] = -400$,
also [mm] $l_{2} [/mm] = 220$ und $s = 60$
Mit [mm] $\lambda [/mm] = -40$ findest du den anderen LFP.
Gruß aus HH
Dieter
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