Parabel, Maximum < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 So 10.01.2010 | | Autor: | Gabs |
| Aufgabe | Für welche x-Werte wird in beigefügtem Bild die Fläche des Kreissektors maximal?
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Maximum der gefärbten Fläche bedeutet Minimum der Sektorfläche.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich rechnete:
A(x) = 400 - (20 - x)20 - (1 - [mm] \bruch{\pi}{4})x^2 [/mm] = 20x - (1 - [mm] \bruch{\pi}{4})x^2 [/mm] = - [mm] \bruch{4 - \pi}{4}x^2 [/mm] + 20x = [mm] -\bruch{4 - \pi}{4}(x^2 [/mm] - [mm] \bruch{80}{4-\pi}x [/mm] + [mm] (\bruch{40}{4-\pi})^2 [/mm] - [mm] \bruch{1600}{(4 - \pi)^2})=-\bruch{4-\pi}{4}(x-\bruch{40}{4-\pi})^2 [/mm] + [mm] \bruch{400}{4-\pi}
[/mm]
Demnach liegt das Maximum der gefärbten Fläche bei
[mm] x=\bruch{40}{4-\pi} \approx [/mm] 46,6 und [mm] A=\bruch{400}{4-\pi} \approx [/mm] 466
Diese Werte übersteigen jedoch die anfänglichen Angaben.
Kann ich davon ausgehen, dass im Bild der Ausgangssituation kein Maximum angenommen werden kann?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Für welche x-Werte wird in beigefügtem Bild die Fläche
> des Kreissektors maximal?
>
> Maximum der gefärbten Fläche bedeutet Minimum der
> Sektorfläche.
> [img]
> Ich rechnete:
> A(x) = 400 - (20 - x)20 - (1 - [mm]\bruch{\pi}{4})x^2[/mm] = 20x - (1 - [mm]\bruch{\pi}{4})x^2[/mm] = - [mm]\bruch{4 - \pi}{4}x^2[/mm] + 20x = [mm]-\bruch{4 - \pi}{4}(x^2[/mm] - [mm]\bruch{80}{4-\pi}x[/mm] + [mm](\bruch{40}{4-\pi})^2[/mm] - [mm]\bruch{1600}{(4 - \pi)^2})=-\bruch{4-\pi}{4}(x-\bruch{40}{4-\pi})^2[/mm] + [mm]\bruch{400}{4-\pi}[/mm]
>
> Demnach liegt das Maximum der gefärbten Fläche bei
> [mm]x=\bruch{40}{4-\pi} \approx[/mm] 46,6 und [mm]A=\bruch{400}{4-\pi} \approx[/mm] 466
> Diese Werte übersteigen jedoch die anfänglichen Angaben.
> Kann ich davon ausgehen, dass im Bild der Ausgangssituation kein Maximum angenommen werden kann?
Ich sehe in der Zeichnung nur einen Kreissektor,
nämlich den kleinen Viertelkreis links oben mit dem
Radius x und dem Flächeninhalt [mm] \frac{\pi}{4}\,x^2.
[/mm]
Dies würde dann am größten, wenn x=20 (Mittelpunkt
im der Quadratecke unten rechts.
Gemeint ist aber wohl das Gebiet, das umrandet ist
von dem Viertelkreisbogen und den beiden schrägen
Linien.
Ich habe nachgerechnet. Deine Lösung ist insofern
richtig, als es kein Maximum gibt, das man mit der
Idee "Ableitung gleich Null setzen" allein bestimmen
kann. Dennoch gibt es natürlich ein Maximum im
Rahmen der gesteckten Bedingungen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 10.01.2010 | | Autor: | Gabs |
Entweder bin ich total blind, aber ich sehe keine Möglichkeit das Maximum der weißen Fläche rechnerisch zu bestimmen, obwohl ich ahne, dass es ein Maximum gibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 10.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gabs!
Untersuche mal die Ränder des Definitionsbereiches mit $D \ = \ [mm] \left\{ \ x\in\IR \ | \ 0 \ \le \ x \ \le \ 20 \ \right\}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 So 10.01.2010 | | Autor: | Gabs |
Danke Loddar, das ist die Lösung. Offensichtlich stand ich neben meiner Haut und sah den Wald vor lauter Bäumen nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 10.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Für welche x-Werte wird in beigefügtem Bild die Fläche
> des Kreissektors maximal?
>
> Maximum der gefärbten Fläche bedeutet Minimum der
> Sektorfläche.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich rechnete:
> A(x) = 400 - (20 - x)20 - (1 - [mm]\bruch{\pi}{4})x^2[/mm] = 20x -
> (1 - [mm]\bruch{\pi}{4})x^2[/mm] = - [mm]\bruch{4 - \pi}{4}x^2[/mm] + 20x =
> [mm]-\bruch{4 - \pi}{4}(x^2[/mm] - [mm]\bruch{80}{4-\pi}x[/mm] +
> [mm](\bruch{40}{4-\pi})^2[/mm] - [mm]\bruch{1600}{(4 - \pi)^2})=-\bruch{4-\pi}{4}(x-\bruch{40}{4-\pi})^2[/mm]
> + [mm]\bruch{400}{4-\pi}[/mm]
>
> Demnach liegt das Maximum der gefärbten Fläche bei
> [mm]x=\bruch{40}{4-\pi} \approx[/mm] 46,6 und [mm]A=\bruch{400}{4-\pi} \approx[/mm]
> 466
> Diese Werte übersteigen jedoch die anfänglichen
> Angaben.
> Kann ich davon ausgehen, dass im Bild der
> Ausgangssituation kein Maximum angenommen werden kann?
Hallo,
deine Rechnung ist ja wahnsinnig kompliziert.
Die weiße Fläche besteht aus einem Viertelkreis und einer Restfläche, die sich in zwei kongruente Dreiecke mit jeweils der Grundseite x und der Höhe (20-x) zerlegen lässt.
Gruß Abakus
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> .... deine Rechnung ist ja wahnsinnig kompliziert
Hallo Abakus,
das habe ich mir zuerst auch gedacht. Der Hauptaufwand
in Gabs' Rechnung ist jedoch gar nicht die Aufstellung
der Formel für den Flächeninhalt, sondern die nachfolgende
Umsetzung durch quadratische Erganzung in einen Term,
mit dem man auch ohne Differentialrechnung die
Extremwertaufgabe angehen kann.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 So 10.01.2010 | | Autor: | Gabs |
Egal, wie man rechnet, das Extremum liegt außerhalb des angegebenen Rahmens. Es ging darum, wie dies interpretiert werden kann. Loddars Bemerkung half mir dazu weiter.
In der 9. Klasse Gymnasium ist die Differenzialrechnung noch nicht bekannt! Warum man sich dennoch wochenlang mit quadratischer Ergänzung herumschlagen muss, was später eleganter mit den Mitteln der Differentialrechnung gelöst werden kann ist für mich nicht ganz ersichtlich. Aber, ob quadratische Ergänzung oder Differentialrechnung, der Fall eines Randextremums ist jetzt schon einmal vorgestellt.
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