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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Di 05.10.2004 | | Autor: | Susanne |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich lerne gerade für eine mathe arbeit in zwei tagen und komme nicht weiter... wäre toll wenn ihr helfen könntet
also wenn ich zum beispiel die funktionsgleichung f(x)=x²+6x+5 habe. wie schaffe ich es a,b, c Scheitelpunktkoordinaten und anzahl der nullstellen herauszufinden? ach ja, woran erkenne ich, das es sich um eine normalparabel handelt?
ich bin am verzweifeln...
lg,
sue
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hallo,
entschuldige, dass es so lange gedauert hat, aber ich hatte probleme mit dem seitenabschicken. sorry. aber jetzt.
also ersteinmal hast du mit [mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] eine quadratische gleichung und somit immer eine parabel, wenn a=1 ist hast du eine normalparabel.
die nullstellen erfährst du, wenn du den funktionsterm gleich null setzt
also f(x)=0
in deinem beispiel [mm] f(x)=x^2+6x+5=0
[/mm]
dann löst du mit der mitternachtsformel auf.
ich versuchs mal, die hier rein zu schreiben, wobei mein computer öfters spinnt.
[mm] x_{1,2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b^{2}-4ac}}{2a}
[/mm]
dann setzt du für a, b und c die zahlen aus deinem term ein
wieviele lösungen du hast zeigt dir die diskriminante.
also alles unter der wurzel. die rechnest du erst aus.
ist sie größer null hast du zwei lösungen, also rechnest du alles fertig
ist sie kleiner null hast du keine lösung (darf nicht neg. sein unter der wurzel), du kannst aufhören, es gibt keine nullstellen
ist sie gleich null, gibt es genau eine lösung. rechne fertig.
scheitelpunktkoordinaten:
du musst den term in eine binomische (erste oder zweite) umwandeln indem du quadratisch ergänzt. wenn du nicht weisst, wie das geht, melde dich noch mal
wenn du das tust, erhältst du die allg. gleichungsform
[mm] f(x)=a*(x-x_{s})^{2}+y_{s}
[/mm]
[mm] x_{s} [/mm] ist dann die x-koordinate des scheitelpunkts
[mm] y_{s} [/mm] ist die y- koordinate des scheitelpunkts.
versuch dich mal und melde dich, wenn du mehr infos brauchst
lieber gruss
judith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Di 05.10.2004 | | Autor: | Disap |
Mitternachtsformel? In der 10en Klasse?
Die finde ich etwas zu compliqué!
Man kann's auch mit der Pq-Formel machen, für die Nullstellen
f(x)=x²+6x+5
Da kein Faktor vor x² steht, kann man gleich mit der pq-Formel weiterrechnen. Die PQ-Formel sollte dir ein Begriff sein?
f(x)=x²+6x+5
[mm] x_{1,2}= -{\bruch{6}{2}} \pm \wurzel{(\bruch{6}{2})^{2}-5}
[/mm]
= -3 [mm] \pm \wurzel{9-5}
[/mm]
= -3 + [mm] \wurzel{4}
[/mm]
= - 3 - [mm] \wurzel{4}
[/mm]
[mm] x_{1}= [/mm] -1
[mm] x_{2}= [/mm] -5
Scheitelpunkt berechnet man durch [mm] x_{s}= \bruch{x_{1}+x_{2}}{2}
[/mm]
xs in f(x) einsetzen um den Y-Punkt herauszubekommen
also
[mm] c=f(x_{s})
[/mm]
a ist gegeben. Das ist immer der WErt vor dem x²
d.h. du könntest jetzt die Scheitelpunktsform bestimmen
Wie die aussieht, siehst'e ja bei Judith, wobei ys bei mir c ist, ist aber das selbe
>ach ja, woran erkenne ich, das es sich um
> eine normalparabel handelt?
Die Normalparabel hat immer die Funktionsgleichung [mm] f(x)=x^{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Susanne |
Hi,
danke ihr beiden für eure schnelle hilfe =)
aber irgendwie bin ich mir nichts ciher ob das so sein kann, als wir das letzte mal mathe hatten, ahben manche leute kurz auf die formel geschaut und wussten sofort was a,b,c Nullstellen usw ist...
kann man das der formel gleich ansehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Susanne!
> aber irgendwie bin ich mir nichts ciher ob das so sein
> kann, als wir das letzte mal mathe hatten, ahben manche
> leute kurz auf die formel geschaut und wussten sofort was
> a,b,c Nullstellen usw ist...
> kann man das der formel gleich ansehen?
Ja, kann man, mehr oder weniger.
Bei den Nullstellen ist ja die Gleichung
[mm] $x^2 [/mm] + 6x + 5=0$
zu lösen. Nach dem Satz von Vieta (kennst du den? wenn nicht, dann frage nach) muss für die beiden Nullstellen [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] gelten:
[mm] $x_1 \cdot x_2=5$,
[/mm]
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = -6$.
Daraus sieht man sofort (im Kopf), dass dies von [mm] $x_1=-1$ [/mm] und [mm] $x_2=-5$ [/mm] gelöst wird (oder natürlich von [mm] $x_1=-5$ [/mm] und [mm] $x_2=-1$).
[/mm]
Hier braucht man also gar nichts groß zu rechnen.
Zur Scheitelpunktform:
Hier gibt es zwei Möglichkeiten, die beide schnell (auch im Kopf) zum Ziel führen. Sie wurden beide auch schon angesprochen.
Entweder ich führe schnell im Kopf eine quadratische Ergänzung durch
$y = [mm] x^2 [/mm] + 6x + 5 = [mm] (x+3)^2 [/mm] - 9 + 5 = [mm] (x+3)^2 [/mm] - 4$
(es ist ganz einfach: in der Klammer mit dem Quadrat steht einfach die Hälfte von dem, was vorher vor dem $x$ stand, und dann wird das Quadrat davon abgezogen)
oder aber man überlegt sich (auch das wurde schon gesagt), dass der $x$-Wert des Scheitelpunktes (nennen wir ihn [mm] $x_S$) [/mm] genau zwischen den beiden Nullstellen liegen muss (und daher gleich [mm] $x_S=-3$ [/mm] ist). Dann weiß man schon mal, dass die Scheitelpunkt so lautet:
$y = [mm] (x+3)^2 [/mm] + [mm] y_S$,
[/mm]
wobei [mm] $x_S$ [/mm] der $y$-Wert des Scheitelpunktes ist, Nun erhalten wir [mm] $y_S$, [/mm] indem wir [mm] $y_S$ [/mm] in die Parabelgleichung einsetzen:
[mm] $y_S [/mm] = [mm] (-3)^2 [/mm] + 6*(-3) + 5 = 9 -18 +5 = -4$,
und man hat ebenfalls
$y = [mm] (x+3)^2 [/mm] - 4$.
Es ist Geschmackssache, was schneller geht. Ich persönlich finde die quadratische Ergänzung schneller. In jedem Fall kann man beides in ein paar Sekunden im Kopf ausrechnen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Susanne |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
danke julius, du warst mir ne große hilfe =)
ich hab hier eine weiter rechnung... =)
die aufgabe lautet "bestimme die funktionsgleichung einer quadratischen Normalparabel aus zwei Punkten einer Funktion"
ich habe P (0/8) und Q (3/5) gegeben
ich hab das also in die scheitelpunktform eingesetzt
1.) 8=(0-xs)²+ys
} -
2.) 5= (3-xs)²+ys
soweit kann ich das auch... dann hat ein freund von mir das hier raus, aber ich versteh nicht wie man darauf kommt:
3 = xs-(3-xs)²
3 = xs² - (9-6xs+xs²)
3 = xs² - 9 + 6xs - xs²
3 = -9 + 6xs - xs²
3 = -9 + 6xs \ +9
12 = 6xs \ :6
2 = xs
ich bin mir ziemlich sicher, das die rechnung stimmt, nur kann ich mir nicht erklären, wie man auf den zweiten teil kommt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Liebe Susanne!
> danke julius, du warst mir ne große hilfe =)
Oh, Danke, das freut mich. ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
> ich hab hier eine weiter rechnung... =)
Ja, gut. Bitte demnächst neue Fragen aber in einen neuen Diskussionsstrang stellen, und zwar aus zwei Gründen:
1.) Das Ganze wird sonst unübersichtlich.
2.) Wie soll ich sonst jemals zu meinem sechsten Stern kommen?  (Es werden nämlich nur die Antworten in verschiedenen Diskussionssträngen gezählt.)
> die aufgabe lautet "bestimme die funktionsgleichung einer
> quadratischen Normalparabel aus zwei Punkten einer
> Funktion"
>
> ich habe P (0/8) und Q (3/5) gegeben
> ich hab das also in die scheitelpunktform eingesetzt
>
> 1.) $\red{8=(0-xs)²+ys}$
> $\}$ -
> 2.) $\blue{5= (3-xs)²+ys}$
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Was hat dein Freund jetzt gemacht? Er hat die beiden Gleichungen voneinander abgezogen. Also:
linke Seite oben - linke Seite unten = rechte Seite oben - rechte Seite unten
Machen wir das doch mal (rot das, was von der oberen Gleichung kommt, blau das, was von der unteren Gleichung kommt):
$ \red{8}-\blue{5} = \red{[(0-x_s)^2 + y_s]} - \blue{[(3-x_s)^2+y_s]}$.
Dies können wir nun weiter ausrechnen: Links bleibt $3$ stehen, klar. Rechts fallen die beiden $y_s$ weg, klar. Die Quadrate können wir ja mal ausrechnen. Wir erhalten:
$3 = x_s^2 - (9-6x_s + x_s^2)$.
Und -strike! ![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]") - die beiden $x_s^2$ heben sich auch weg. Wir erhalten also:
$3 = -9 + 6x_s$.
Jetzt noch mal Standard-Rechnen: Wir addieren auf beiden Seiten die $9$:
$12 = 6x_s$
und teilen noch durch $6$:
$x_s = 2$.
Ich hoffe dein Freund sinkt jetzt nicht in deinem Ansehen, nur weil es dir jetzt einfach vorkommt.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Susanne |
Hi Julius!
Vielen, vielen Dank für deine Mühe!!!
Ich kann das jetzt endlich =) und wenn ich Mathe kapiere bin ich immer voll happy *g*
Ich bin jetzt auch zuversichtlicher für morgen unsere Mathe Arbeit, ich hoffe ich bekomme keinen Blackout!
Nochmal Danke!
Liebe Grüße,
Susanne
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