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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Xieza |
| Aufgabe | Aufgabe 9: Eine Landwirtin will an einem Bach mit 300m Zaun ein rechteckiges Weidestück für junge Ponys abgrenzen. Bei welchen abmessungen erhält sie die größtmögliche Weide?
-> Lösung zu 9.
Breite des rechtecks (in m): x
Länge des Rechtecks (in m): 300-2x
Gleichung: y= x(300-2x)
=300x-2x²
=-2(x²-150x)
=-2((x-75)²-75²)
=-2(x-75)²+11250
Man erhält eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Sheitelpunkt S(75 l 11250).
Den größten Wert erhält man also für x=75
Ergebnis: Die Weide sollte 150m lang und 75m breit sein. Der Flächeninhalt beträgt dann 11250m². |
Ich habe zwar die Lösung und den Lösungsweg, verstehe den aber nicht. Vielleicht hat ja jemand einen einfacheren.
Dankeschön :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe 9: Eine Landwirtin will an einem Bach mit 300m Zaun
> ein rechteckiges Weidestück für junge Ponys abgrenzen.
> Bei welchen abmessungen erhält sie die größtmögliche
> Weide?
>
> -> Lösung zu 9.
> Breite des rechtecks (in m): x
> Länge des Rechtecks (in m): 300-2x
> Gleichung: y= x(300-2x)
> =300x-2x²
> =-2(x²-150x)
> =-2((x-75)²-75²)
> =-2(x-75)²+11250
> Man erhält eine nach unten geöffnete Parabel mit dem
> Sheitelpunkt S(75 l 11250).
> Den größten Wert erhält man also für x=75
> Ergebnis: Die Weide sollte 150m lang und 75m breit sein.
> Der Flächeninhalt beträgt dann 11250m².
> Ich habe zwar die Lösung und den Lösungsweg, verstehe
> den aber nicht. Vielleicht hat ja jemand einen
> einfacheren.
> Dankeschön :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Du bezeichnest deine Länge mit x und deine Breite mit y. So, jetzt hast du ein Rechteck, dass nur 1 Länge und zwei Breiten besitzt. Warum? Weil eine Seite, und zwar die Länge, durch einen Fluss begrenz wird. Im Grunde ist es aber egal, welche Seite, kannst du gerne ausprobieren.
Was brauchst du jetzt, um dein Problem zu lösen? Du hast zwei Unbekannte, x und y. Du brauchst demnach zwei Gleichungen. Du hast es also mit einer sogenannten Extremwertaufgabe zu tun. Zuerst suchen wir die Hauptbedingungn, gegeben durch die Aufgabenstellung. Diese lautet: Er will eine möglichst große Weide. Weide = eingezäunter Bereich = Fläche des Rechteckes = A(x,y). Das letzte soll heißen, die Fläche ist eine Funktion in Abhängigkeit von x und y, also von der Länge und Breite des Zauns.
Wir schreiben also zunächst:
$A=x*y$ Einfach die Formel für die Fläche eines Rechteckes, die hat mit der offenen Seite nichts zu tun (sofern der Fluss geradlinig läuft, was er in Deutschland fast immer tut...)
Jetzt können wir aber nichts rechnen, weil wir zwei Unbekannte haben. Wir wissen aber, dass ihm nur 300 Meter Zaun zur Verfügung stehen, die wir irgendwie mit unterbringen müssen, denn im Moment enthält unsere Formel für den Flächeninhalt keinerlei weitere Informationen, also auch nicht die nur 300 Meter Gesamtlänge des Zauns. Was ist die Länge eines Rechtecks? Sein Umfang, also normalerweise:
U=2x+2y. Hier haben wir aber nur EINMAL ein x, denn die zweite Länge ist der Fluss und die spart sich der Bauer:
U=2y+x=300 Meter. Das können wir jetzt nach x oder y auflösen, um eine Abhängigkeit zwischen den beiden Größen zu erhalten:
$x=300-2y$. Das ist die sog. Nebenbedingung, die wir brauchen, um die Hauptbedingung auf eine Variable zu bringen, daher setzen wir diese Beziehung in die erste GLeichung ein:
$A=y*(300-2y)=-4y+300y=A(y)$ Wir haben nur noch eine Funktion von y.
Jetzt kommt der vllt schwierigste Teil: Du sollst sagen, wann diese Funktion maximal wird. Der Bauer möchte eine größmögliche Gläche. Du kannst dir einen beliebigen Wert für y ausdenken und die Gleichung oben liefert dir automatisch einen x-Wert. Aber du wirst auf diese Weise lange probieren müssen, bis du per Zufall bzw. akribischen Ausprobieren aller Möglichkeiten die richtige Kombionation von x und y findest, der den größtmöglichen Inhalt angibt. Daher nimmt man hier die Infinitesimalrechnung zu Hilfe, soll heißen: Eine Funktion hat dort ihr Maximum (oder Minimum), wo ihre erste Ableitung Null wird, weil die Steigung an diesem Punkt 0 ist. Daher leiten wir jetzt A(y) ab:
$A(y)'=-4y+300$
Eine Extremstelle liegt vor, wenn die 1. Ableitung 0 wird:
$-4y+300=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=+75$
Damit haben wir eine Lösung und wir ersparen uns hier die Überprüfung, ob dies ein Maximum oder Minimum ist, da nur ein Maximum in Frage kommt. Daher ergibt sich mit y = Breite des Rechtecks = 75 Meter, dass die Breite 75 Meter betragen muss. Nach Gleichung 2 ist dann x automatisch:
$x=300-2y=150 Meter$.
Das wars.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Xieza |
Das Problem ist, dass wir noch gar keine Ableitung hatten. Gibt's dazu noch eine andere Lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Xieza |
also um genauer zu werden.
Ich verstehe diesen Schritt hier nicht:
von =-2(x²-150x)
zu =-2((x-75)²-75²)
Vielen Dank
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Dann entschuldige ich mich vielams, soweit hatte ich nicht gelesen! Tut mir leid, hier deine für dich verständliche Erklärung!
> also um genauer zu werden.
> Ich verstehe diesen Schritt hier nicht:
> von =-2(x²-150x)
> zu =-2((x-75)²-75²)
> Vielen Dank
Das ist ganz einfach, wir kamen ja auch für dich verständlich bis zu:
[mm] $A(y)=y*(300-2y)=300y-2y^2=2*(150y-y^2)$
[/mm]
So, da du keine Ableitung kennst, machen wir es graphisch ;) Was ist denn eine Funktion, die nur ein [mm] x^2 [/mm] enthält? Doch offenbar eine dir gut bekannte Parabel. Wie kann man anhand einer Parabel den maximalen Wert bestimmen? Nun, handelt es sich um eine Normalparabel, so muss die Antwort lauten: da sie ständig $für [mm] x_2>x_1$ [/mm] immer nur stärker ansteigt, muss der gesuchte Wert sozusagen der x-Wert sein, der noch definiert ist. Wir haben hier aber eine nach UNTEN geöffnete Parabel, also ist ihr Scheitelpunkt der maximale Wert, denn alle anderen Werte liegen tiefer, weil streng monoton fallen (was soviel heißt wie jeder [mm] x_2-Wert [/mm] größer [mm] x_1 [/mm] hat einen kleineren y-Wert als der Wert davor).
Also wie bekommst du aus deiner Parabelgelichung den Scheitelpunkt? Durch quadratische Ergänzung!
Du hast bisher:
[mm] $A(y)=2*(150y-y^2)$
[/mm]
Um hier eine quadratische Ergänzung durchzuführen, also diesen Term auf [mm] (x-\bruch{p}{2})^2 [/mm] zu kommen, musst dir ansehen, wie die binomische Formel ausgeschrieben lautet: [mm] x^2+2x+1. [/mm] Um also auf [mm] (x+1)^2 [/mm] zu kommen, musst du offenbar die Zahl vor dem x halbieren. Dann fügst du aber durch das Quadrat dieser zahl [mm] (1^2) [/mm] am Ende mehr hinzu, als vorher da war, daher muss man bei der quatratischen Ergänzung diesen Wert, also [mm] $(\bruch{p}{2})^2$ [/mm] wieder abziehen!
[mm] $A(y)=2*(150y-y^2)=-2*(y^2-150y)=-2*((y-75)^2-75^2)$
[/mm]
Multiplizierst du die letzte Gleichung aus, erhälst du wieder die Erste. Denn durch das 2. Binom erhalten wir am Ende [mm] 75^2, [/mm] was wir durch [mm] -75^2 [/mm] gerade wieder abziehen. Wir haben den Term also einfach umgeformt. Nur können wir an der neuen Form direkt den Scheitelpunkt von y=75 ablesen und das ist der gesuchte Maximalwert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Xieza |
Wow. Danke ihr beiden. Ich habe es verstanden!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Fr 27.05.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] x^2-150x=x^2-2*75x+75^2-75^2=(x-75)^2-75^2 [/mm] wegen Binomischer Formel.
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> Aufgabe 9: Eine Landwirtin will an einem Bach mit 300m Zaun
> ein rechteckiges Weidestück für junge Ponys abgrenzen.
> Bei welchen abmessungen erhält sie die größtmögliche
> Weide?
Hallo,
bei dieser Aufgabe, die in verschiedenen Versionen
kursiert (Hühner oder Schweine anstelle von Ponys,
Stallmauer oder Felswand anstatt Bach) habe ich
mich manchmal schon gefragt, weshalb die Leute
so sehr auf der rechteckigen Form des abgezäunten
Bereichs beharren, obwohl dies, solange der Zaun
vorgegebener Länge erst erstellt werden muss,
keineswegs die optimale Lösung ist.
Stecken Menschen wohl deshalb ihre Felder meist
rechteckig ab, weil sie seit Jahrtausenden aus der
Schule (fast) nur die Flächenformeln für Rechtecke
kennen ? 
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mo 18.02.2013 | | Autor: | buenooo |
| Aufgabe | | beachte dabei auch einschränkende bedingungen! |
gibt es für die aufgabe einschränkende bedingungen?
> Aufgabe 9: Eine Landwirtin will an einem Bach mit 300m Zaun
> ein rechteckiges Weidestück für junge Ponys abgrenzen.
> Bei welchen abmessungen erhält sie die größtmögliche
> Weide?
>
> -> Lösung zu 9.
> Breite des rechtecks (in m): x
> Länge des Rechtecks (in m): 300-2x
> Gleichung: y= x(300-2x)
> =300x-2x²
> =-2(x²-150x)
> =-2((x-75)²-75²)
> =-2(x-75)²+11250
> Man erhält eine nach unten geöffnete Parabel mit dem
> Sheitelpunkt S(75 l 11250).
> Den größten Wert erhält man also für x=75
> Ergebnis: Die Weide sollte 150m lang und 75m breit sein.
> Der Flächeninhalt beträgt dann 11250m².
> Ich habe zwar die Lösung und den Lösungsweg, verstehe
> den aber nicht. Vielleicht hat ja jemand einen
> einfacheren.
> Dankeschön :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Generell nennt man sowas "Maximierungsproblem". Die rechteckige Fläche soll maximal werden. Als Einschränkung gilt hier eben, daß die Summe von drei Seitenlängen einen festen Wert hat.
Aber wozu fragst du? Das Thema ist über 1,5 Jahre alt!
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