Parabolspiegel Brennpunkt < Optik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 So 28.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Hey Leute, habe hier eine Idee zu einer Übungsaufgabe, zu der ich gerne wissen würde, ob sie so in Ordnung ist:
Man hat die Gleichung einer Parabel (Parabolspiegel) gegeben mit f(x)= [mm] \bruch{x^{2}}{2R}.
[/mm]
Es soll gezeigt werden, dass alle parallel zur Y-Achse einfliegenden Strahlen zu einem Brennpunkt B reflektiert werden, und jener soll bestimmt werden.
Als Hinweis war beigefügt, dass man es mit der Tangente an einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] machen soll, und dass die Koordinaten von B am Ende nur von [mm] x_{0} [/mm] und R abhängen sollen.
Mein Weg:
Ableitung von f(x) an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] gebildet:
[mm] \bruch{x_{0}}{R}=m_{t} [/mm] als Steigung der Tangente an der Stelle.
Steigungswinkel der Tangenten bestimmt: [mm] \beta=arctan(\bruch{x_{0}}{R})
[/mm]
Eintrittswinkel: [mm] \alpha=90°-\beta
[/mm]
Reflexionswinkel: [mm] \alpha'=90°-\beta
[/mm]
Damit kann man auf den Steigungswinkel des reflektierten Strahls kommen:
[mm] \delta=\beta-\alpha=2arctan(\bruch{x_{0}}{R})- [/mm] 90°
Daraus die Steigung des reflektierten Strahls bestimmt:
[mm] m_{k}=tan(\delta)
[/mm]
[mm] =tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)
[/mm]
Mit [mm] x_{0} [/mm] und [mm] m_{k} [/mm] kann die Geradengleichung des reflektierten Strahls aufgestellt werden:
Ich komme auf
[mm] k(x)=tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)x+\bruch{x_{0}^{2}}{2R}-tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)x_{0}
[/mm]
Der Brennpunkt muss auf der Y-Achse liegen, also Y-Wert für x=0 berechnen:
[mm] k(0)=\bruch{x_{0}^{2}}{2R}-tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)x_{0}
[/mm]
Also folgt für den gesuchten Punkt:
[mm] B(0|\bruch{x_{0}^{2}}{2R}-tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)x_{0})
[/mm]
Mit einer geeigneten Skizze kann man die Schlussfolgerungen für die Winkel natürlich besser verstehen.
Ist der Weg so richtig??
Danke an alle, die bis hier gelesen haben und antworten.
Und gute Nacht schonmal.
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Hallo Paivren,
> Mein Weg:
> Ableitung von f(x) an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] gebildet:
> [mm]\bruch{x_{0}}{R}=m_{t}[/mm] als Steigung der Tangente an der
> Stelle.
>
> Steigungswinkel der Tangenten bestimmt:
> [mm]\beta=arctan(\bruch{x_{0}}{R})[/mm]
Der Steigungswinkel der Tangente stimmt. Ab hier würde ich mit der Senkrechten zur Tangente durch den Punkt [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] weiter machen...
> Eintrittswinkel: [mm]\alpha=90°-\beta[/mm]
> Reflexionswinkel: [mm]\alpha'=90°-\beta[/mm]
>
> Damit kann man auf den Steigungswinkel des reflektierten
> Strahls kommen:
> [mm]\delta=\beta-\alpha=2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-[/mm] 90°
>
> Daraus die Steigung des reflektierten Strahls bestimmt:
> [mm]m_{k}=tan(\delta)[/mm]
> [mm]=tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)[/mm]
>
> Mit [mm]x_{0}[/mm] und [mm]m_{k}[/mm] kann die Geradengleichung des
> reflektierten Strahls aufgestellt werden:
> Ich komme auf
>
> [mm]k(x)=tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)x+\bruch{x_{0}^{2}}{2R}-tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)x_{0}[/mm]
>
> Der Brennpunkt muss auf der Y-Achse liegen, also Y-Wert
> für x=0 berechnen:
>
> [mm]k(0)=\bruch{x_{0}^{2}}{2R}-tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)x_{0}[/mm]
Ich erhalte hier:
[mm]k(0)=\bruch{x_{0}^{2}}{2R}-tan(2arctan(\bruch{R}{x_{0}})-\bruch{\pi}{2})x_{0}[/mm]
Ich vermute, ein möglicher Fehler liegt darin, dass du mit der Tangente anstatt mit der Senkrechten zur Tangente gerechneht hast. Vielleicht ist es auch nur ein Vorzeichenfehler eines Winkels. (Ich habe es aber nicht geprüft. Am besten machst du das selbst anhand deiner Skizzen.)
Außerdem muss der Brennpunkt - quasi per Definition - von [mm] x_0 [/mm] unabhängig sein. Der Ausdruck für k(0) kann mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen noch umgeformt werden. Über einige Zwischenschritte (trigonometrische Funktionen) folgt:
[mm]k(0)=\bruch{x_{0}^{2}}{2R}-tan(2arctan(\bruch{R}{x_{0}})-\bruch{\pi}{2})x_{0}=...=\bruch{x_{0}^{2}}{2R}+\bruch{R}{2}-\bruch{x_{0}^{2}}{2R}=\bruch{R}{2}[/mm]
> Also folgt für den gesuchten Punkt:
>
> [mm]B(0|\bruch{x_{0}^{2}}{2R}-tan(2arctan(\bruch{x_{0}}{R})-90°)x_{0})[/mm]
>
> Mit einer geeigneten Skizze kann man die Schlussfolgerungen
> für die Winkel natürlich besser verstehen.
>
> Ist der Weg so richtig??
Dein Ansatz ist - bis auf den oben genannten kleinen Fehler - richtig. Zu Ende rechnen musst du eben noch...
Viele Grüße
franzzink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Hey, danke für die Antwort!
Also, ich habe es wirklich mit der Tangente gemacht.
Mein Gedanke war halt, dass der Strahl mit demselben Winkel auf die Tangente trifft, wie er sie wieder verlässt.
Es stimmt zwar, dass der Brennpunkt eigtl. unabhängig von [mm] X_{0} [/mm] sein sollte, aber im Grunde genommen ist er das bei mir auch, da für jedes [mm] X_{0} [/mm] der selbe Wert rauskommt (bei konstantem R). Vermutlich habe ich dann nicht gut genug umgeformt...
Gruß
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