Parallelität-Frage < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:41 Di 27.11.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo ,
ich habe eine Frage , in meinem Mathebuch steht folgendes :
Für eine Untersuchung zweier Ebenen auf Parallelität und Orthogonalität eignen sich erneut die Normalengleichungen.
Parallele Ebenen :
(1) Die Normalenvektoren sind kollinear
(2) Der Normalenvektor einer Ebene ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene
Orthgonale Ebenen :
Die Normalenvektoren sind orthogonal.
Jetzt habe ich eine kleine Aufgabe :
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebenen E: 3x+6y+4z = 36 und F: [mm] \vec{x} =\vektor{2\\0\\3}+r\vektor{0\\2\\-3}+s\vektor{-2\\3\\3} [/mm] |
In den Lösungen steht , dass sie echt parallel sind.
Wie soll das gehen ? Ich habe am Anfang diese zwei Bedingungen für paralelle Ebenen angewandt und es kam raus , dass sie nicht parallel sind.
Hab das so überprüft :
Der Normalenvektor von 3x+6y+4z = 36 ist [mm] \vektor{3\\6\\4}.
[/mm]
Diesen Normalenvektor habe ich mit einem Richtungsvektor der Ebene F skalar multipliziert und es kommt NICHT Null raus , also sind sie nicht parallel , da die Bedingung nicht erfüllt ist.
In den Lösunge steht aber sie sind echt parallel zueinander , wie kommt man drauf ?
Vielen Dnak im Voraus.
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EDIT: Hat sich erledigt , hab den Fehler gefunden.
Hab aber trotzdem eine Frage.
Sind parallele Ebenen erst dann parallel , wenn die zwei Bedingungen also (1) und (2) erfüllt sind , oder reicht es wenn der Normalenvektor mit den Richtungsvektoren Null eribgt ?
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Hallo,
> Sind parallele Ebenen erst dann parallel , wenn die zwei
> Bedingungen also (1) und (2) erfüllt sind , oder reicht es
> wenn der Normalenvektor mit den Richtungsvektoren Null
> eribgt ?
Was verstehst du darunter, dass zwei Vektoren Null ergeben? Wenn man was mit ihnen macht?
Für deine beiden Bedingungen gilt übrigens, dass sie äquivalent sind. Gilt also die eine, so gilt die andere automatisch auch. Von daher reicht es, eine von beiden zu zeigen.
Gruß, Diophant
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> Was verstehst du darunter, dass zwei Vektoren Null ergeben?
> Wenn man was mit ihnen macht?
Naja , damit meinte ich , dass wenn man einen Normalenvektor hat, diesen Normalenvektor mit den zwei Richtungsvektoren der Ebene jeweils skalar multipliziert und als Produkt muss jeweils Null rauskommen , das heißt dann , dass der Normalevektor orthogonal zu den jeweiligen Richtungsvektoren der Ebene ist.
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Hallo,
> > Was verstehst du darunter, dass zwei Vektoren Null ergeben?
> > Wenn man was mit ihnen macht?
>
> Naja , damit meinte ich , dass wenn man einen
> Normalenvektor hat, diesen Normalenvektor mit den zwei
> Richtungsvektoren der Ebene jeweils skalar multipliziert
> und als Produkt muss jeweils Null rauskommen , das heißt
> dann , dass der Normalevektor orthogonal zu den jeweiligen
> Richtungsvektoren der Ebene ist.
Du meinst das sicherlich richtig. 'Skalar multiplizieren' und 'Skalarprodukt' sind aber völlig unterschiedliche Dinge, von daher musst du es schon richtig formulieren:
Wenn die Skalarprodukte des Normalenvektors der einen Ebene mit den beiden Richtungsvektoren der anderen Ebene (beide) gleich Null sind, dann sind die Ebenen parallel. Oder so in der Art halt. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Di 27.11.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Stimmt , so ist es besser formuliert :D
Danke.
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