Parallelität von Tangenten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Mi 20.06.2007 | | Autor: | lisabu |
| Aufgabe | | Zeige: Eine Tangente an den Graphen der Funktion x -> [mm] \wurzel{x} [/mm] kann niemals parallel zu einer Tangente an den Graphen der Funktion x -> [mm] \bruch{1}{x} [/mm] verlaufen. |
Wir haben diese Aufgabe als Hausaufgabe bekommen und ich bin vollkommen hilflos und da unser Mathelehrer recht streng ist bei der Bewertung der Hausaufgaben bitte ich um eure Hilfe. Ich hab absolut keine Ahnung was diese Aufgabe mit Differentioalrechnung zu tun haben soll und auch nicht wie man hier einen Ansatz finden soll. Bitte helft mir.
Liebe Grüße Lisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bedenke, dass die Tangentensteigung einer Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] durch die 1. Ableitung [mm] $f'(x_0)$ [/mm] angeben wird.
Gibt es nun x-Werte, bei dem $f'(x)_$ und $g'(x)_$ übereinstimmen? Betrachte hier einfach mal die Vorzeichen der beiden Ableitungen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 20.06.2007 | | Autor: | lisabu |
hm ich weiß auch nicht, aber bei diesem Thema hab ich einfach einen linken fuß und bekomm das einfach nicht hin. Kann sein dass ich mich gegen das Thema sperre, aber nun bekomme ich nicht einmal mehr die ableitungen hin =( Und dabei ist Mathe sonst ein Fach welches mir liegt^^Sorry, aber ich glaub ich brauch noch mehr Hilfestellung...lg Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa!
Schreibe Deine beiden Funktionen mal um, und Du kannst jeweils mit der  Potenzregel ableiten:
$f(x) \ = \ [mm] \wurzel{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
$g(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] x^{-1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 20.06.2007 | | Autor: | lisabu |
also sind die ableitungen f'(x)=1/2 und g'(x)= -1 ? und nun muss ich die beiden gleich null setzten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo lisabu,
du hast, wie Loddar geschrieben hat, folgende Funktionen:
[mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm]
[mm]g(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
Hier auch nochmal als Bild gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese kannst du laut Potenzregel, wie Loddar meinte, auch wie folgt schreiben:
[mm]f(x)=x^{0.5}[/mm]
[mm]g(x)=x^{-1}[/mm]
Jetzt kannst du die beiden Funktionen ableiten:
[mm]f'(x)=(x^{0.5})'[/mm]
[mm]f'(x)=0.5*x^{-0.5}[/mm]
[mm]f'(x)=0.5*\bruch{1}{\wurzel{x}[/mm]
[mm]f'(x)=\bruch{0.5}{\wurzel{x}[/mm]
[mm]g'(x)=(x^{-1})'[/mm]
[mm]g'(x)=-1*x^{-2}[/mm]
[mm]g'(x)=-1*\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
[mm]g'(x)=\bruch{-1}{x^{2}}[/mm]
Jetzt kannst du sehen, dass die Vorzeichen der beiden Ableitungen unterschiedlich sind und die Ableitungen (d.h. die Steigungen der Funktionen) sich nirgendwo schneiden und somit stets unterschiedliche Werte zurückliefern. f'(x) bleibt also immer positiv, g'(x) ist stets negativ.
Hier die Ableitungen als Grafik gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 20.06.2007 | | Autor: | lisabu |
also wie muss ich nun weiter vorgehen wenn ich die ableitungen hab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 20.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da die Steigungen ja nun gleich sein sollen (Parallele Tangenten), müsste, wenn es einen Wert [mm] x_{p} [/mm] gäbe gelten:
[mm] f'(x_{p})=g'(x_{p})
[/mm]
Und jetzt musst du zeigen, dass genau das nicht sein kann.
Dazu setze mal die Beiden Ableitungen gleich.
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}=-\bruch{1}{x²}
[/mm]
[mm] \gdw 2\wurzel{x}=-x²
[/mm]
Und nun zeige mal, dass das nicht funktionieren kann.
Marius
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