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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Mo 14.11.2011 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Unter welchen Voraussetzungen an [mm] f:(a,b)\to[0,\infty] [/mm] wird
[mm] \phi:(a,b)\times[0,2\pi)\to\IR^3, (r,\phi)\mapsto(f(r)\cos(\phi), f(r)\sin\phi, [/mm] r)
eine reguläre Parameterdarstellung? |
Hallo,
[mm] D\phi [/mm] muss dazu überall vollen Rang haben: [mm] D\phi=\pmat{f'(r)\cos\phi&-f(r)\sin\phi\\f'(r)\sin\phi&f(r)\cos\phi\\1&0}.
[/mm]
Dazu musst f erst einmal stetig differenzierbar sein und weiterhin [mm] f(r)\neq0 [/mm] auf (a,b).
Wir haben gelernt, dass Parameterdarstellung auf einer offenen Menge definiert sind. Aber [mm] [0,2\pi) [/mm] ist nicht offen. Ändert das was?
dankefür Hilfe, mili
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Unter welchen Voraussetzungen an [mm]f:(a,b)\to[0,\infty][/mm] wird
> [mm]\phi:(a,b)\times[0,2\pi)\to\IR^3, (r,\phi)\mapsto(f(r)\cos(\phi), f(r)\sin\phi,[/mm]
> r)
> eine reguläre Parameterdarstellung?
> Hallo,
>
> [mm]D\phi[/mm] muss dazu überall vollen Rang haben:
> [mm]D\phi=\pmat{f'(r)\cos\phi&-f(r)\sin\phi\\f'(r)\sin\phi&f(r)\cos\phi\\1&0}.[/mm]
>
> Dazu musst f erst einmal stetig differenzierbar sein und
> weiterhin [mm]f(r)\neq0[/mm] auf (a,b).
Stimmt.
>
> Wir haben gelernt, dass Parameterdarstellung auf einer
> offenen Menge definiert sind. Aber [mm][0,2\pi)[/mm] ist nicht
> offen. Ändert das was?
Nein
FRED
>
> dankefür Hilfe, mili
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mo 14.11.2011 | | Autor: | mili03 |
vielen Dank FRED für Erste Hilfe!
Nun soll [mm] \phi:(0,1)\times[0,2\pi)\to\IR^3, (r,\varphi)\mapsto(r\cos\varphi, r\sin\varphi, [/mm] r) und [mm] f:\IR^3\backslash\{0\}\to\IR, (x,y,z)\mapsto\frac{x}{||x||} [/mm] sein.
Das Oberflächenintegral ist definiert als
[mm] \int_{(0,1)\times[0,2\pi)}^{}f(\phi(r,\varphi))G_\phi(r,\varphi)drd\varphi
[/mm]
Dabei ist [mm] G_\phi=\sqrt{2}r \Rightarrow
[/mm]
[mm] \int_{(0,1)\times[0,2\pi)}^{}f(\phi(r,\varphi)G_\phi(r,\varphi))drd\varphi=\int_{(0,1)\times[0,2\pi)}^{}\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi+r^2}}\sqrt{2}r drd\varphi
[/mm]
[mm] =\int_{(0,1)\times[0,2\pi)}^{}r\cos\varphi drd\varphi=0.
[/mm]
Weil die Stammfunktion vom cos -sin ist und dort 0 und [mm] 2\pi [/mm] Nullstellen sind. Stimmt das?
Gruß
mili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 14.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> vielen Dank FRED für Erste Hilfe!
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> Nun soll [mm]\phi:(0,1)\times[0,2\pi)\to\IR^3, (r,\varphi)\mapsto(r\cos\varphi, r\sin\varphi,[/mm]
> r) und [mm]f:\IR^3\backslash\{0\}\to\IR, (x,y,z)\mapsto\frac{x}{||x||}[/mm]
> sein.
>
> Das Oberflächenintegral ist definiert als
>
> [mm]\int_{(0,1)\times[0,2\pi)}^{}f(\phi(r,\varphi))G_\phi(r,\varphi)drd\varphi[/mm]
>
> Dabei ist [mm]G_\phi=\sqrt{2}r \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\int_{(0,1)\times[0,2\pi)}^{}f(\phi(r,\varphi)G_\phi(r,\varphi))drd\varphi=\int_{(0,1)\times[0,2\pi)}^{}\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi+r^2}}\sqrt{2}r drd\varphi[/mm]
>
> [mm]=\int_{(0,1)\times[0,2\pi)}^{}r\cos\varphi drd\varphi=0.[/mm]
>
> Weil die Stammfunktion vom cos -sin ist und dort 0 und [mm]2\pi[/mm]
Eine Stammfunktion von cos(x) ist sin(x)
und sin(0)=sin(2 [mm] \pi)=0
[/mm]
FRED
> Nullstellen sind. Stimmt das?
>
> Gruß
> mili
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