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| Aufgabe | | Bestimmen Sie bei der Funktion h: [mm] h(x)=-x^{2}+4x+k [/mm] die Zahl k so, dass die Graphen der Funktionen h und f: [mm] f(x)=3x^{2}+4x-12 [/mm] genau einen gemeinsamen Punkt haben. |
Hallo,
ich bin folgendermaßen vorgegangen:
-beide Gleichungen gleichsetzen
-anhand der quadratischen Gleichung die x-Werte des Schnittpunktes berechnen, dort kommt raus:
[mm] x_{1,2}= \pm\wurzel{3+\bruch{k}{4}}
[/mm]
Da genau eine Lösung rauskommen muss, klingt das sehr nach Diskriminante. Dort kommt genau eine Lösung raus, wenn D=0 ist, d.h. k muss so gewählt werden, damit unter der Wurzel 0 steht.
Dies ist bei k=-12 der Fall.
x=0, k=-12
In einer der Funktionsgleichungen eingesetzt ergibt für y=-12.
Der einzige gemeinsame Punkt liegt bei (0;-12)
Ist mein Lösungsweg und mein Gedankengang richtig? (Funkyplot sagt ja!)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Bestimmen Sie bei der Funktion h: [mm]h(x)=-x^{2}+4x+k[/mm] die Zahl
> k so, dass die Graphen der Funktionen h und f:
> [mm]f(x)=3x^{2}+4x-12[/mm] genau einen gemeinsamen Punkt haben.
> Hallo,
>
> ich bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> -beide Gleichungen gleichsetzen
> -anhand der quadratischen Gleichung die x-Werte des
> Schnittpunktes berechnen, dort kommt raus:
>
> [mm]x_{1,2}= \pm\wurzel{3+\bruch{k}{4}}[/mm]
>
> Da genau eine Lösung rauskommen muss, klingt das sehr nach
> Diskriminante. Dort kommt genau eine Lösung raus, wenn D=0
> ist, d.h. k muss so gewählt werden, damit unter der Wurzel
> 0 steht.
>
> Dies ist bei k=-12 der Fall.
>
> x=0, k=-12
>
> In einer der Funktionsgleichungen eingesetzt ergibt für
> y=-12.
>
> Der einzige gemeinsame Punkt liegt bei (0;-12)
>
> Ist mein Lösungsweg und mein Gedankengang richtig?
> (Funkyplot sagt ja!)
Ja, es ist alles richtig. Und es ist wie ich finde auch sehr gut und schlüssig begründet. In schriftlichen Prüfungen könnte man vielleicht so etwas wie die Berechnung von k aus der Forderung D=0 nicht verbal, sondern explizit durch ausrechnen zeigen, für eine mündliche Prüfung wäre es jedoch so wie du es gemacht hast perfekt.
Interessant auf jeden Fall (für den Fall, dass du das nicht eh schon weißt): du hast ja hier durch die Forderung D=0 eine Doppellösung konstruiert. Und dabei entstehen dann eben bei der Untersuchung auf gemeinsame Punkte zweier Graphen grundsätzlich Berührpunkte. Das kann man sich manchmal auch für Berührprobleme zu Nutze machen, ist hier allerdings etwas off-topic.
Gruß, Diophant
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