Parameter für Matrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für die Matrix [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ \alpha & \beta & 0 \\ -1 & \gamma & -3 \end{pmatrix} [/mm] finden Sie solche [mm] \alpha \beta \gamma [/mm] ,dass der Rang der matrix
a) 3 b) 2 c) 1
ist. Ist die Lösung eindeutig? Warum |
Ich habe für alpha und beta mal [mm] \not= [/mm] 0 und gamma [mm] \not= [/mm] -2 gesagt und das kommt auch ganz gut hin. Die Lösung sagt jedoch:
[mm] (\alpha\not=0 \vee \beta\not=0) \wedge \gamma \not=-2
[/mm]
Eine Begründung gibt es nicht.
Kann mir das jemand näher erläutern. Warum genügt es alpha oder beta ungleich Null zu setzen. Wenn die Lösung eindeutig ist. Warum?
aufg. b) und c) kann ich wohl dann erst verstehen.
Rang einer Matrix hält sich doch daran, ob Nullzeilen herstellbar sind oder?
Kann mir alternativ nochmal jemand alle Kriterien für den Rang sagen?
mfg
Metin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 16.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Lösung
$ [mm] (\alpha\not=0 \vee \beta\not=0) \wedge \gamma \not=-2 [/mm] $
stimmt nicht. Für [mm] \alpha [/mm] = 0, [mm] \beta [/mm] = 1 und [mm] \gamma [/mm] = -1
hat die Matrix den Rang 2
FRED
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Danke, sorry aber das hilft mir leider nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Do 16.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Durch elementare Zeilenumformung kommt man auf
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ \alpha & \beta & 0 \\ 0 & \gamma-2 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $
(I) Fall 1 : [mm] \beta [/mm] = 0.
Dann ist der Rang = 3 [mm] \gdw \alpha \not= [/mm] 0 und [mm] \gamma \not= [/mm] 2
Fall 2: [mm] \beta \not= [/mm] 0
Dann ist der Rang = 3 [mm] \gdw \alpha \not= [/mm] 0 und [mm] \gamma \not= [/mm] 2
Fazit: Rang = 3 [mm] \gdw \alpha \not= [/mm] 0 und [mm] \gamma \not= [/mm] 2
(II) Der Fall [mm] \alpha [/mm] = 0:
Rang = 2 [mm] \gdw \beta \not= [/mm] 0 oder [mm] \gamma \not= [/mm] 2
(II) Der Fall [mm] \gamma [/mm] = 2:
Rang = 2 [mm] \gdw \beta \not= [/mm] 0 oder [mm] \alpha \not= [/mm] 0
FRED
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