Parameter in Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein Problem:
Ich habe eine Matrix in mit Parametern, die ich verändere.
Von dieser Matrix lasse ich mir die Eigenwerte berechnen, stelle den betragsmässig größten graphisch da und überprüfe ob der Betrag von allen kleiner als z.B. 1 ist.
Die eigentliche Frage:
Ich variere die Parameter in z.B. 0,1er Schritten und berechne den betragsmässig größten Eigenwerte und plotte die Punkte.
Kann ich diese Punkte miteinander verbinden oder nicht?Ist die Abbildung von dem Parameter auf den größten Eigenwert kontinuierlich?
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Hallo,
die Eigenwerte [mm] \lambda_1, \lambda_2, [/mm] ... , [mm] \lambda_n [/mm] (manche können gleich sein) sind ja die Lösungen einer Gleichung n-ten Grades bei einer nxn Matrix. Wenn du einen Parameter t in der Matrix hast, dann ergeben sich halt keine n Zahlen sondern n Funktionen, die von diesem Parameter abhängen, also [mm] \lambda_1 [/mm] (t), [mm] \lambda_2 [/mm] (t), ... , [mm] \lambda_n(t).
[/mm]
Es könnte z.B. [mm] \lambda_1 [/mm] (t) = [mm] \bruch{2+t}{t-1} [/mm] sein, dann kannst du natürlich nicht t=1 als Wert für den Parameter wählen.
Die Antwort auf deine Frage ist also abhängig von dem Term, den du für deine Eigenwerte bekommen hast.
Gruß,
weightgainer
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Die Eigenwerte kann ich nicht analytisch berechnen, da der Parameter durch eine gebrochen rationale Funktion in die Matrix eingeht und die Matrix groß ist (5x5).
Darum wollte ich den Eigenwerte mit maximalem Betrag über dem Parameter plotten lassen. Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich durch eine kleine Schritte die Funktion approximieren kann oder nur einzelne Punkte.
Also ob [mm] $\max_i{\lambda_i(p)}$ [/mm] kontinuierlich in p ist, falls der Parameter kontinuierlich in die Matrix eingeht.
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Ich denke, dass sich dadurch nichts ändert. Die Eigenwerte sind und bleiben Funktionen in Abhängigkeit des Parameters, auch wenn du sie nicht analytisch angeben kannst. Wenn du das jetzt ohnehin approximierst, kannst du (z.B. argumentiert mit dem Satz von Taylor) das beliebig gut durch Polynome approximieren, die zweifellos "kontinuierlich" verlaufen. Ob deine Schrittweite hinreichend klein ist, damit die Approximation gut genug ist hängt aber wiederum von den konkreten Werten/Näherungen ab.
Gruß,
weightgainerr
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Ich bin mir aber nicht sicher ob Eigenwerte als Funktionen des Parameters stetig differenzierbar oder überhaupt stetig ist.
Ist das der Fall?
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Natürlich weißt du das nicht so ohne weiteres. Die Frage ist aber doch auch, ob du die Stetigkeit überall brauchst. So ohne konkrete Angaben lässt sich da eh nix sagen.
Ich hab auch noch nicht verstanden, warum du die Eigenwerte nicht ausrechnen kannst - okay, es gibt keine Lösungsformel wie für Polynome mit Grad kleiner gleich 4, aber es gibt doch genug Näherungsmethoden, die dir die Lösungen für ein Polynom angeben. Und diese Lösungen stehen dann auch analytisch da.
Abgesehen davon hast du in den Werten für deine Parameter doch schon Lücken, wenn ich das richtig verstanden habe, weil sie gebrochen-rational in deiner Matrix auftauchen. Ich würde intuitiv vermuten, dass in der Nähe dieser Definitionslücken der Matrixeintrag beliebig groß wird und sich die Beträge der Eigenwerte damit nicht mehr gescheit abschätzen lassen.
Das sind aber jetzt Vermutungen ins Blaue hinein, weil ich die Aufgabe nicht kenne.
Gruß,
weightgainer
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Na gut.
Die Pole der gebrochenrationalen Funktionen sind alle außerhalb des interessanten Parameterbereiches.
Es geht im Prinzip darum, für welche Werten des Parameters oder evtl 2 Parameter alle Eigenwerte nicht mehr im Einheitskreis sind. (Stabilität einer Differenzengleichung)
Ich habe auch schon versucht bestimmte Kriterien anzuwenden, speziell für "Eigenwerte in Einheitskreis", allerdings helfen diese wenig.
Es bleibt mir wenig übrig außer die Eigenwerte von zu berechnen für bestimmte Parameterwerte und zu hoffen, dass ich die Werte dicht genug wählen kann, damit die Funktion max Betrag der Eigenwerte über Parameter richtig dargestellt wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Di 09.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die fkt der t in dem betrachteten Bereich stetig und differenzierbar ist, dann haengen auch die Eigenwerte stetig und diffb. von t ab. Da man ja dann nur eine -wenn auch nicht explizite- Verkettung stetiger fkt. hat.
Gruss leduart
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