Parameter \lambda < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Di 18.01.2011 | | Autor: | muka |
| Aufgabe | Für welche reellen Werte des Parameters [mm] \lambda [/mm] besitzt das folgende homogene lineare Gleichungssystem nichttriviale (heißt: von null verschiedene) Lösungen?
Wie lauten diese Lösungen? (Hinweis: es sind jeweils unendlich viele)
[mm] \pmat{ 3-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ 7 & -2 & -\lambda & -1 \\ 0 & \lambda+2 & 0 & 0 \\ 13 & -4 & 2 & -\lambda } \times \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] |
Mein Ansatz ist folgende:
Ich habe die ersten beiden Matritzen miteinander multipliziert und komme auf folgendes Ergebnis:
[mm] \vektor{(3-\lambda)*X_{1} \\ 7x_{1}-2x_{2}-\lambda x_{3}-x_{4} \\ (\lambda+2)x_{2} \\ 13x_{1}-4x_{2}+2x_{3}-\lambda x_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Hier komme ich nicht mehr weiter. Muss ich veilleicht die 2te mit der 4ten Zeile gleichsetzten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Für welche reellen Werte des Parameters [mm]\lambda[/mm] besitzt
> das folgende homogene lineare Gleichungssystem
> nichttriviale (heißt: von null verschiedene) Lösungen?
> Wie lauten diese Lösungen? (Hinweis: es sind jeweils
> unendlich viele)
>
> [mm]\pmat{ 3-\lambda & 0 & 0 & 0 \\
7 & -2 & -\lambda & -1 \\
0 & \lambda+2 & 0 & 0 \\
13 & -4 & 2 & -\lambda } \times \vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm]
> Mein Ansatz ist folgende:
> Ich habe die ersten beiden Matritzen miteinander
> multipliziert und komme auf folgendes Ergebnis:
Ob das so clever war?
>
> [mm]\vektor{(3-\lambda)*X_{1} \\
7x_{1}-2x_{2}-\lambda x_{3}-x_{4} \\
(\lambda+2)x_{2} \\
13x_{1}-4x_{2}+2x_{3}-\lambda x_{4}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> Hier komme ich nicht mehr weiter. Muss ich veilleicht die
> 2te mit der 4ten Zeile gleichsetzten?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Benutze doch ein bisschen Theorie...
Man kann doch über den Rang einer Matrix sagen, ob ein LGS mit dieser Matrix nur die triviale Lösung hat.
In Zeilenstufenform sollte es ja etwa so aussehen:
[mm]\left( \begin {array}{cccc} 3-a&0&0&0\\
0&-2&-a&-1
\\
0&0&-1/2\, \left( a+2 \right) a&-1/2\,a-1
\\
0&0&0&-{\frac {{a}^{2}+2}{a}}\end {array}
\right)
[/mm]
Wann hat die Matrix vollen Rang?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Di 18.01.2011 | | Autor: | muka |
Die von dir umgeformte Matrix hat den Rang 4, weil alle 4 Zeilen ungleich 0 sind. Da alle Zeilen ungleich 0 sind kann man dann sagen das sie den vollen Rang hat? Was sagt mir das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Di 18.01.2011 | | Autor: | wieschoo |
*hier stand einmal Schwachsinn*
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Di 18.01.2011 | | Autor: | muka |
Das würde heißen das die Antwort auf die Fragestellung wie folgt ist:
Das LGS bietet für alle Werte des Parameters [mm] \lambda \not= \wurzel{2} [/mm] eine nichttriviale Lösung.
Wäre es so richtig?
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