Parameterdarstellung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 02.05.2009 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | [mm] g:\overrightarrow{X}=\vektor{3 \\ 1\\4}+s*\vektor{1 \\8\\4}
[/mm]
[mm] h:\overrightarrow{X}=\vektor{5 \\ 2\\6}+t*\vektor{2 \\1\\2}
[/mm]
Stellen Sie die Parameterdarstellung einer Winkelsymmetrale der Geraden g und h auf. |
Hallo,
wie bringe ich das in die Parameterdarstellung?
Muss ich da ein Gleichungssystem aufstellen?
3+1s=5+2t
1+8s=2+1t
4+4s=6+2t
Wie löse ich das dann entsprechend?
Wie soll ich dort z.B. das Additionsverfahren anwenden? Welche Gleichung addiere ich mit welcher?
Wer hat da einen Tipp? Danke...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Arnie09 |
Moin,
durch das Gleichungssystem berechnest du den Schnittpunkt von den beiden Geraden. Den brauchst du nachher um bei der Winkelsymmetralen, also der Winkelhalbierenden, den Ortsvektor für die Gerade der Winkelhalbierenden zu haben. Allerdings würde ich erst alle Zahlen auf die linke Seite und alle Variablen auf die rechte Seite des = bringen. Du könntest dann beispielsweise die dritte Gleichung mit (-1) multiplizieren und mit der ersten addieren. Dann fällt das t weg. Die entstehende Gleichung dann nach s auflösen und in I oder III einsetzen und t ausrechnen. Das Ergebnis prüfst du dann in der II Gleichung. Für die Winkelhalbierenden bestimmst du anschließend den Winkel zwischen den beiden Geraden und teilst den durch 2. Genau da geht die Winkelhalbierende durch. Bestimmen musst du jetzt noch den Punkt, der bei dieser Gradzahl liegt...
Die beiden Geraden sind praktisch schon in der Parameterdarstellung, die Parameterdarstellung, die in der Aufgabenstellung genannt ist, bezieht sich auf die Winkelhalbierende  .
Lg,
Arnie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Sa 02.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
also, ich habe das jetzt mal so gerechnet. Die Gleichung geht aber nicht auf.
Vielleicht habe ich was falsch gemacht.
I 3+1s=5+2t /-5-1s
II 1+8s=2+1t /-2-8s
III 4+4s=6+2t /-6-4s
I -2=-1s+2t
II -1=-8s+1t
III -2=-4s+2t /*(-1)
I -2=-1s+2t
2=4s-2t
0=3s /:3
s=0
III -2=2t /:2
t=-2
Wo liegt da der Fehler? Wie würde ich weiter vorgehen beim Errechnen des Winkels etc.?
II -1 [mm] \not= [/mm] -2
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> Hallo,
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> also, ich habe das jetzt mal so gerechnet. Die Gleichung
> geht aber nicht auf.
> Vielleicht habe ich was falsch gemacht.
>
> I 3+1s=5+2t /-5-1s
> II 1+8s=2+1t /-2-8s
> III 4+4s=6+2t /-6-4s
>
> I -2=-1s+2t
> II -1=-8s+1t
> III -2=-4s+2t /*(-1)
>
> I -2=-1s+2t
> 2=4s-2t
> 0=3s /:3
> s=0
>
> III -2=2t /:2
> t=-2
>
> Wo liegt da der Fehler?
Hallo,
wenn ich -2 durch 2 dividiere, kommt -1 heraus...
Du hast nun also den Schnittpunkt S der beiden Geraden.
Eins Skizze zweier sich schneidender Geraden hast Du?
Bestimme nun auf den beiden Halbgeraden, die den Winkel begrenzen jeweils einen Punkt [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2, [/mm] so daß [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] vom Schnittpunkt gleichweit entfernt sind. Bestimme den Mittelpunkt M der Strecke [mm] P_1P_2.
[/mm]
Die Gerade durch S und M ist die eine der Winkelhalbierenden.
Gruß v. Angela
Wie würde ich weiter vorgehen beim
> Errechnen des Winkels etc.?
> II -1 [mm]\not=[/mm] -2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 So 03.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
also, erst einmal danke für die Antwort.
Im Grunde verstehe ich was zu tun ist. Hab mal eine Skizze gezeichnet, nur ist mir (im Raum) noch nicht so hundertprozentig klar wie ich einen Punkt bestimme. Geht das auch nur rechnerisch. Werde in der Prüfung kaum Zeit haben eine entsprechende Skizze zu zeichnen. Steh da grad aufm Schlauch was die Punkte betrifft.
Danke...
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> Hallo,
>
> also, erst einmal danke für die Antwort.
> Im Grunde verstehe ich was zu tun ist. Hab mal eine Skizze
> gezeichnet, nur ist mir (im Raum) noch nicht so
> hundertprozentig klar wie ich einen Punkt bestimme.
Hallo,
genauso wie in der Ebene.
> Geht
> das auch nur rechnerisch. Werde in der Prüfung kaum Zeit
> haben eine entsprechende Skizze zu zeichnen.
Eine kleine Skizze kostet keine Zeit, sondern sie spart Zeit.
Du Mußt doch vom Punkt S gleichviele Einheiten in beide Richtungen gehen. Die Richtungen kennst Du, damit das Gleichweitgehen klappt, ist sicher das Normieren der Richtungsvektoren hilfreich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 So 03.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
also irgendwie komm ich da nicht weiter.
Ich habe jetzt den Schnittpunkt der (großartiger Weise) mit meiner Zeichnung übereinstimmt.
S= [mm] \vektor{3 \\ 1\\ 4}
[/mm]
Mir macht aber jetzt die räumliche Zeichnung Schwierigkeiten, die zwei Punkte zu ermitteln.
Ich kann mir momentan nicht vorstellen wie ich auf den beiden Geraden zwei neue Punkte rechnerisch festlegen soll. Ich habe momentan die beiden Gleichungen und den Schnittpunkt zur Verfügung. Wie rechne ich da nun weiter? Laut Zeichnung müsste es ein 90° Winkel sein, klar, aber irgendwie blicke ich da grad gar nicht durch.
Vor allem steht halt in der Aufgabenstellung dass ich die Aufgabe unbedingt rechnerisch lösen soll, werd da in der Prüfung mit einer Zeichnung alleine nicht recht weit kommen. Danke noch mal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden Einheitsvektoren, addiere sie und du hast den Richtungsvektor der Winkelhalbierenden. (statt Einheitsvektoren kannst du sie natuerlich auch irgendwie gleich lang machen.)
da 2 Geraden, die sich schneiden immer in einer Ebene liegen, ist die Skizze eben und darum sehr schnell mit 2 Strichen gemacht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 So 03.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke, okay, ich habe jetzt folgenden Richtungsvektor errechnet:
[mm] \vektor{0,777 \\ 1,222\\ 1,111}
[/mm]
Aber wie nun weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mo 04.05.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo,
>
> danke, okay, ich habe jetzt folgenden Richtungsvektor
> errechnet:
>
> [mm]\vektor{0,777 \\ 1,222\\ 1,111}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie nun weiter?
Hallo,
Der Richtungsvektor ist korrekt, auch wenn ich das vielleicht eher mit Brüchen gemacht hätte.
[mm] \vec{v}=\vektor{\bruch{7}{9} \\ \bruch{4}{3} \\ \bruch {10}{9}}
[/mm]
Da du als Richtungsvektor für die Winkelhalbierende jedes beliebige Vielfache des obigen Vektors nehmen kannst, wäre vielleicht das Neunfache des Vektors, also der Vektor
[mm] \vec{v}=\vektor{7 \\ 12 \\ 10}
[/mm]
noch schöner.
Nachdem du den Schnittpunkt S der beiden Geraden schon ermittelt hast, ist es doch jetzt nicht mehr schwer, eine Parameterdarstellung der Winkelhalbierenden zu bestimmen:
[mm] w:\vec{X}=\overrightarrow{S}+\lambda*\vec{v},\lambda \in \IR
[/mm]
Bedenke bitte, dass zwei sich schneidende Geraden zwei Winkelhalbierende besitzen (diese stehen aufeinander senkrecht).
Einen Richtungsvektor der zweiten Winkelhalbierenden erhältst du, indem du die Differenz der normierten Richtungsvektoren der beiden Geraden bildest.
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mo 04.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für Deine Antwort.
Ich habe jetzt folgendes errechnet.
[mm] \vec{g_{0}}=\bruch{1}{\wurzel{1^2+8^2+4^2}}*\vektor{1 \\ 8\\ 4}=\bruch{1}{9}*\vektor{1 \\ 8\\ 4}=\vektor{ \bruch{1}{9}\\\bruch{8}{9} \\\bruch{4}{9}}
[/mm]
[mm] \vec{h_{0}}=\bruch{1}{\wurzel{2^2+1^2+2^2}}*\vektor{2 \\ 1\\ 2}=\bruch{1}{3}*\vektor{2 \\ 1\\ 2}=\vektor{ \bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3} \\\bruch{2}{3}}
[/mm]
[mm] \vec{g_{0}}+\vec{h_{0}}=\vektor{ \bruch{1}{9}\\\bruch{8}{9} \\\bruch{4}{9}}+\vektor{ \bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3} \\\bruch{2}{3}}=\vektor{ \bruch{7}{9}\\\bruch{11}{9} \\\bruch{10}{9}}*9=\vektor{7 \\ 11\\ 10}
[/mm]
So weit, so gut, aber wofür steht das [mm] \lambda?
[/mm]
$ [mm] w:\vec{X}=\overrightarrow{S}+\lambda\cdot{}\vec{v}
[/mm]
$ [mm] w:\vec{X}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4}+\lambda*\vektor{7 \\ 11\\ 10}
[/mm]
Kann ich das so stehenlassen? Besten Dank.
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> Ich habe jetzt folgendes errechnet.
>
> [mm]\vec{g_{0}}=\bruch{1}{\wurzel{1^2+8^2+4^2}}*\vektor{1 \\ 8\\ 4}=\bruch{1}{9}*\vektor{1 \\ 8\\ 4}=\vektor{ \bruch{1}{9}\\\bruch{8}{9} \\\bruch{4}{9}}[/mm]
>
> [mm]\vec{h_{0}}=\bruch{1}{\wurzel{2^2+1^2+2^2}}*\vektor{2 \\ 1\\ 2}=\bruch{1}{3}*\vektor{2 \\ 1\\ 2}=\vektor{ \bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3} \\\bruch{2}{3}}[/mm]
>
> [mm]\vec{g_{0}}+\vec{h_{0}}=\vektor{ \bruch{1}{9}\\\bruch{8}{9} \\\bruch{4}{9}}+\vektor{ \bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3} \\\bruch{2}{3}}\red{\bf{=}}\vektor{ \bruch{7}{9}\\\bruch{11}{9} \\\bruch{10}{9}}*9=\vektor{7 \\ 11\\ 10}[/mm]
Die rot markierte Gleichung ist falsch !!!
> So weit, so gut, aber wofür steht das [mm]\lambda?[/mm]
Das ist einfach der Parameter, den jede parametrische
Geradengleichung haben muss, um die unendlich vielen
Punkte der Geraden in einer einzigen Gleichung darzustellen.
> [mm]w:\vec{X}=\overrightarrow{S}+\lambda\cdot{}\vec{v}[/mm]
>
> [mm]w:\vec{X}=\vektor{3 \\ 1 \\ 4}+\lambda*\vektor{7 \\ 11\\ 10}[/mm]
>
> Kann ich das so stehenlassen?
Ja das ist die richtige Parameterdarstellung
für eine von zwei möglichen Winkelhalbierenden.
Um die Rechnungen einfacher zu machen, könnte
man die Brüche leicht vermeiden. Der Richtungs-
vektor [mm] \vektor{1 \\ 8\\ 4} [/mm] von g hat den Betrag 9,
jener von h den Betrag 3. Um zwei gleich lange
Vektoren zu erhalten, kann man diesen zweiten
mit dem Faktor 3 strecken. Dann haben wir also
[mm] $\vec{r}_g=\vektor{1 \\ 8\\ 4}\qquad\vec{r}_h=\vektor{6 \\ 3\\ 6}$
[/mm]
Die Summe [mm] $\vec{r}_g+\vec{r}_h=\vektor{7 \\ 11\\ 10}$ [/mm] ergibt einen Richtungs-
vektor für die eine Winkelhalbierende, die
Differenz [mm] $\vec{r}_h-\vec{r}_g=\vektor{5 \\ -5\\ 2}$ [/mm] einen für die andere.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mo 04.05.2009 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort. Habs verstanden.
Warum aber ist
[mm] \vec{g_{0}}+\vec{h_{0}}=\vektor{ \bruch{1}{9}\\\bruch{8}{9} \\\bruch{4}{9}}+\vektor{ \bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3} \\\bruch{2}{3}}\red{\bf{=}}\vektor{ \bruch{7}{9}\\\bruch{11}{9} \\\bruch{10}{9}}\cdot{}9=\vektor{7 \\ 11\\ 10}
[/mm]
falsch? Habs jetzt 3x gerechnet, komme aber immer auf das gleiche Ergebnis...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mo 04.05.2009 | | Autor: | djmatey |
> Hallo,
>
> danke für die Antwort. Habs verstanden.
> Warum aber ist
>
> [mm]\vec{g_{0}}+\vec{h_{0}}=\vektor{ \bruch{1}{9}\\\bruch{8}{9} \\\bruch{4}{9}}+\vektor{ \bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3} \\\bruch{2}{3}}\red{\bf{=}}\vektor{ \bruch{7}{9}\\\bruch{11}{9} \\\bruch{10}{9}}\cdot{}9=\vektor{7 \\ 11\\ 10}[/mm]
>
> falsch? Habs jetzt 3x gerechnet, komme aber immer auf das
> gleiche Ergebnis...
Hallo,
du stimmst mir ja sicherlich zu, dass die Gleichung
2 + 3 = 5 * 9 = 45
falsch ist.
Wenn man es allerdings in zwei Gleichungen aufteilt, stimmt es:
2 + 3 = 5
5 * 9 = 45
Genau dasselbe ist das Problem bei deiner Gleichung. Die ersten beiden Vektoren ergeben addiert denjenigen, der direkt hinter dem roten Gleichheitszeichen steht. Diesen aber dann mit 9 zu multiplizieren, ist ein weiterer Schritt, der von dem Rest abgegrenzt werden muss.
LG djmatey
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