Parameterform Koordinatenform < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Do 14.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
In Koordinatenform hat ja ein kreis bekanntlich die Form
[mm] (x-x_m)^2 [/mm] + (y [mm] -y_m)^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
Der Einheitsvektor:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1
In Parameterform hat der Kreis die Form:
r(t) = [mm] \vektor{cos(t) \\ sin(t)}
[/mm]
Doch ich versteh momentan nicht, wie ich in Parameterform den Einheitsvektor beschreiben kann. t sind ja unendlich viele Punkte, also wenn man finitive abstände nehmen würde, gebe es einen Kreis.
__________________________________________________
Des weiteren, kann mir jemand sagen wie die Transformation von Koordinatenform in Parameterform geht?
Mache ich das mithilfe der Polarkoordinaten?
Wenn ich nun: r(t) = [mm] \vektor{2 cos(t) \\ 3 sin(t)} [/mm] habe
dann ist dies:
[mm] \bruch{x^2}{2^2} [/mm] + [mm] \bruch{x^2}{3^2} [/mm] = 1
Danke, gruss Kuriger
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> In Koordinatenform hat ja ein kreis bekanntlich die Form
>
> [mm](x-x_m)^2[/mm] + (y [mm]-y_m)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>
> Der Einheitsvektor:
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1
Das ist kein Einheitsvektor, sondern die Einheitskreislinie !
>
> In Parameterform hat der Kreis die Form:
> r(t) = [mm]\vektor{cos(t) \\ sin(t)}[/mm]
>
> Doch ich versteh momentan nicht, wie ich in Parameterform
> den Einheitsvektor beschreiben kann. t sind ja unendlich
> viele Punkte, also wenn man finitive abstände nehmen
> würde, gebe es einen Kreis.
Es gilt doch: [mm] $cos^2(t)+sin^2(t)=1$ [/mm] für jedes t [mm] \in \IR.
[/mm]
Weiter:
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2=1\}= \{ (cos(t),sin(t)): t \in \IR\}$
[/mm]
Hilft das ?
> __________________________________________________
>
> Des weiteren, kann mir jemand sagen wie die Transformation
> von Koordinatenform in Parameterform geht?
> Mache ich das mithilfe der Polarkoordinaten?
>
> Wenn ich nun: r(t) = [mm]\vektor{2 cos(t) \\ 3 sin(t)}[/mm] habe
>
> dann ist dies:
> [mm]\bruch{x^2}{2^2}[/mm] + [mm]\bruch{x^2}{3^2}[/mm] = 1
Setze x= 2cos(t) und y = 3sin(t), dann siehst Du wie oben:
[mm]\bruch{x^2}{2^2}[/mm] + [mm]\bruch{x^2}{3^2}[/mm] = 1
FRED
>
> Danke, gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Do 14.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Fred
Danke für deine Antwort
[mm] cos^2 [/mm] (t) + [mm] sin^2 [/mm] (t) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
Leider klappts nicht, denn:
[mm] x^2 [/mm] = [mm] cos^2 [/mm] (t) + [mm] sin^2 [/mm] (t) - [mm] y^2
[/mm]
x = [mm] \pm \wurzel{cos^2 (t) + sin^2 (t) - y^2} [/mm]
Doch dieses [mm] y^2 [/mm] muss irgendwie ersetzt werden, aber wie nur?
Danke, Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
Hallo Kuriger,
> Hallo Fred
>
> Danke für deine Antwort
>
> [mm]cos^2[/mm] (t) + [mm]sin^2[/mm] (t) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
>
> Leider klappts nicht, denn:
> [mm]x^2[/mm] = [mm]cos^2[/mm] (t) + [mm]sin^2[/mm] (t) - [mm]y^2[/mm]
> x = [mm]\pm \wurzel{cos^2 (t) + sin^2 (t) - y^2}[/mm]
>
> Doch dieses [mm]y^2[/mm] muss irgendwie ersetzt werden, aber wie
> nur?
Fre hat doch geschrieben, dass du [mm]x=2\cos(t)[/mm] und [mm]y=3\sin(t)[/mm] setzen sollst! Wieso machst du das nicht?
Damit [mm]x^2=(2\cos(t))^2=4\cos^2(t)[/mm] und [mm]y^2=(3\sin(t))^2=9\sin^2(t)[/mm]
Mithin: [mm]\frac{x^2}{4}=\frac{4\cos^2(t)}{4}=\cos^2(t)[/mm] und [mm]\frac{y^2}{9}=\ldots=\cos^2(t)[/mm]
Also [mm]\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=\cos^2(t)+\sin^2(t)=1[/mm]
> Danke, Gruss Kuriger
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Do 14.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo schachuzipus
Danke dass du mir die Antwort auf die untere Frage gegeben hast, jedoch habe ich mich in diesem Post auf die erste Frage bezogen
Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo schachuzipus
>
> Danke dass du mir die Antwort auf die untere Frage gegeben
> hast, jedoch habe ich mich in diesem Post auf die erste
> Frage bezogen
Ah, ja.
Ist x=cos(t) und y=sin(t), so gilt:
[mm] $x^2+y^2= cos^2(t)+sin^2(t)=1$
[/mm]
FRED
>
> Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 14.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hier wurde doch gar nichgt auf meine Rückfrage eingegangen, sondern wie von Fred festgestellt, meine zweite Frage beantwortet,.,,
Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
> Hier wurde doch gar nichgt auf meine Rückfrage
> eingegangen, sondern wie von Fred festgestellt, meine
> zweite Frage beantwortet,.,,
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, was Du wissen möchtest.
Ich versuch's trotzdem mal...
[mm] \vec{r}(t)=\vektor{cos(t)\\sin(t)} [/mm] ist die Parameterdarstellung des Einheitskreises. D.h. u.a., daß man für jedes t, welches man einsetzt, den Ortsvektor eines Punktes auf dem Einheitskreis bekommt.
Für jedes beliebige t ist der Vektor [mm] \vektor{cos(t)\\sin(t)} [/mm] ein Einheitsvektor, denn es gilt [mm] cos^2(t)+sin^2(t)=1.
[/mm]
Natürlich zeigen für [mm] t\in [/mm] [0, [mm] 2\pi[ [/mm] die Einheitsvektoren allesamt in verschiedene Richtungen.
Falls hiermit Deine Frage nicht beantwortet ist, versuche nochmal zu formulieren, was unklar geblieben ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 14.10.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
> >
> > Des weiteren, kann mir jemand sagen wie die Transformation
> > von Koordinatenform in Parameterform geht?
> > Mache ich das mithilfe der Polarkoordinaten?
> >
> > Wenn ich nun: r(t) = [mm]\vektor{2 cos(t) \\ 3 sin(t)}[/mm] habe
> >
> > dann ist dies:
> > [mm]\bruch{x^2}{2^2}[/mm] + [mm]\bruch{x^2}{3^2}[/mm] = 1
>
> Setze x= 2cos(t) und y = 3sin(t), dann siehst Du wie oben:
Und dann? Stelle ich nach t um?, so dass dies eliminiert wird? Ich komem da nicht weiter..denn: t = [mm] arccos(\bruch{x}{2} [/mm] Nee das will ich wohl kaum
Gruss Kuriger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Do 14.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> > >
> > > Des weiteren, kann mir jemand sagen wie die Transformation
> > > von Koordinatenform in Parameterform geht?
> > > Mache ich das mithilfe der Polarkoordinaten?
> > >
> > > Wenn ich nun: r(t) = [mm]\vektor{2 cos(t) \\ 3 sin(t)}[/mm] habe
> > >
> > > dann ist dies:
> > > [mm]\bruch{x^2}{2^2}[/mm] + [mm]\bruch{x^2}{3^2}[/mm] = 1
> >
> > Setze x= 2cos(t) und y = 3sin(t), dann siehst Du wie oben:
>
>
> Und dann? Stelle ich nach t um?, so dass dies eliminiert
> wird? Ich komem da nicht weiter..denn: t =
> [mm]arccos(\bruch{x}{2}[/mm] Nee das will ich wohl kaum
>
>
> Gruss Kuriger
Schachuzipus hat Dir doch geschrieben:
"Fre hat doch geschrieben, dass du $ [mm] x=2\cos(t) [/mm] $ und $ [mm] y=3\sin(t) [/mm] $ setzen sollst! Wieso machst du das nicht?
Damit $ [mm] x^2=(2\cos(t))^2=4\cos^2(t) [/mm] $ und $ [mm] y^2=(3\sin(t))^2=9\sin^2(t) [/mm] $
Mithin: $ [mm] \frac{x^2}{4}=\frac{4\cos^2(t)}{4}=\cos^2(t) [/mm] $ und $ [mm] \frac{y^2}{9}=\ldots=\cos^2(t) [/mm] $
Also $ [mm] \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=\cos^2(t)+\sin^2(t)=1 [/mm] $ "
FRED
|
|
|
|
