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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 So 09.02.2014 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | $F(x) = [mm] \integral_{x}^{2x+1}{y^2e^{y^2}} [/mm] dy$
$x [mm] \in \IR$
[/mm]
Berechnen Sie F'(x). |
Hallo,
ich wende die Leibniz Regel an und erhalte das
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = 0$ ist.
Bleibt noch [mm] f(\psi(x))\psi'(x) [/mm] - [mm] f(\Phi(x))\Phi'(x) [/mm]
Mit [mm] \psi [/mm] als oberer und [mm] \Phi [/mm] als unterer Grenze.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf:
F'(x) = [mm] \integral_{a}^{b}{ e^{2x+1}^2(8[4x^3+6x^2+4x+1]+(2x+1)^2)-e^x^2 ( 2x^3 + 2x + x^2 ) dy}
[/mm]
Und nun nochmal nach y integrieren und wieder die Grenzen einsetzen?![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wäre nett wenn mich da jemand erleuchten könnte :) Wenn ich das richtig verstanden habe, möchte man ja man ja das Integral eigentlich nur nach x ableiten, und nach y integrieren. Da kann ich mir nicht vorstellen, dass da solche Terme auftauchen.
lg moody
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Hallo,
> [mm]F(x) = \integral_{x}^{2x+1}{y^2e^{y^2}} dy[/mm]
> [mm]x \in \IR[/mm]
>
> Berechnen Sie F'(x).
>
> Hallo,
>
> ich wende die Leibniz Regel an und erhalte das
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = 0[/mm] ist.
>
> Bleibt noch [mm]f(\psi(x))\psi'(x)[/mm] - [mm]f(\Phi(x))\Phi'(x)[/mm]
>
> Mit [mm]\psi[/mm] als oberer und [mm]\Phi[/mm] als unterer Grenze.
>
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf:
>
> F'(x) = [mm]\integral_{a}^{b}{ e^{2x+1}^2(8[4x^3+6x^2+4x+1]+(2x+1)^2)-e^x^2 ( 2x^3 + 2x + x^2 ) dy}[/mm]
Was macht denn noch das Integral dort?
Also noch einmal ganz langsam. Erst einmal schön die Leibnizformel notiert:
[mm] A:=\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(y,x)dy=\int_{a(x)}^{b(x)}f_x(x,y)dy+f(b(x),x)b'(x)-f(a(x),x)a'(x)
[/mm]
Bei dir ist nun [mm] f(y,x)=f(y)=y^2e^{y^2}
[/mm]
Wie du schon bemerkt hast, ist in der Tat [mm] f_x(y,x)=0
[/mm]
Es bleibt also
f(b(x),x)b'(x)-f(a(x),x)a'(x)
zu berechnen.
So, jetzt schön langsam. Da du ja, gar keine x-Abhängigkeit in der FUnktion hast, können wir auch schreiben
f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)
Wir berechnen nun erst einmal a'(x) und b'(x)
a'(x)=1
b'(x)=2
Und nun ist es doch nur noch Einsetzen.
[mm] A=2*f(b(x))-f(a(x))=\ldots
[/mm]
Soweit klar die Sache?
>
> Und nun nochmal nach y integrieren und wieder die Grenzen
> einsetzen?
>
> Wäre nett wenn mich da jemand erleuchten könnte :) Wenn
> ich das richtig verstanden habe, möchte man ja man ja das
> Integral eigentlich nur nach x ableiten, und nach y
> integrieren. Da kann ich mir nicht vorstellen, dass da
> solche Terme auftauchen.
>
> lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 09.02.2014 | | Autor: | moody |
> Hallo,
>
> > [mm]F(x) = \integral_{x}^{2x+1}{y^2e^{y^2}} dy[/mm]
> > [mm]x \in \IR[/mm]
>
> >
> > Berechnen Sie F'(x).
> >
> > Hallo,
> >
> > ich wende die Leibniz Regel an und erhalte das
> >
> > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = 0[/mm] ist.
> >
> > Bleibt noch [mm]f(\psi(x))\psi'(x)[/mm] - [mm]f(\Phi(x))\Phi'(x)[/mm]
> >
> > Mit [mm]\psi[/mm] als oberer und [mm]\Phi[/mm] als unterer Grenze.
> >
> > Wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf:
> >
> > F'(x) = [mm]\integral_{a}^{b}{ e^{2x+1}^2(8[4x^3+6x^2+4x+1]+(2x+1)^2)-e^x^2 ( 2x^3 + 2x + x^2 ) dy}[/mm]
>
> Was macht denn noch das Integral dort?
Das frage ich mich im Nachhinein auch, hatte mir das falsch abgeschrieben und das dy ans Ende geschrieben.
> Also noch einmal ganz langsam. Erst einmal schön die
> Leibnizformel notiert:
>
> [mm]A:=\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(y,x)dy=\int_{a(x)}^{b(x)}f_x(x,y)dy+f(b(x),x)b'(x)-f(a(x),x)a'(x)[/mm]
Du hast jetzt A geschrieben, ich nehme an für Fläche. Also berechnet man doch so das Integral? Ich habe durch das F'(x) bisher gedacht, dass wir das Integral ableiten wollen. Irgendwie habe ich den Eindruck, denn Sinn nicht ganz verstanden zu haben.
> Bei dir ist nun [mm]f(y,x)=f(y)=y^2e^{y^2}[/mm]
> Wie du schon bemerkt hast, ist in der Tat [mm]f_x(y,x)=0[/mm]
>
> Es bleibt also
>
> f(b(x),x)b'(x)-f(a(x),x)a'(x)
>
> zu berechnen.
>
> So, jetzt schön langsam. Da du ja, gar keine
> x-Abhängigkeit in der FUnktion hast, können wir auch
> schreiben
>
> f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)
Würde sich denn jetzt hier noch was ändern, wenn wir noch eine Abhängigkeit von x hätten? Nach der Formel müsste es doch bei Einsetzen bleiben?
Vielen lieben Dank schonmal für diese super schnelle und gute Antwort!
lg moody
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Hi,
> > Hallo,
> >
> > > [mm]F(x) = \integral_{x}^{2x+1}{y^2e^{y^2}} dy[/mm]
> > > [mm]x \in \IR[/mm]
>
> >
> > >
> > > Berechnen Sie F'(x).
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich wende die Leibniz Regel an und erhalte das
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = 0[/mm] ist.
> > >
> > > Bleibt noch [mm]f(\psi(x))\psi'(x)[/mm] - [mm]f(\Phi(x))\Phi'(x)[/mm]
> > >
> > > Mit [mm]\psi[/mm] als oberer und [mm]\Phi[/mm] als unterer Grenze.
> > >
> > > Wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf:
> > >
> > > F'(x) = [mm]\integral_{a}^{b}{ e^{2x+1}^2(8[4x^3+6x^2+4x+1]+(2x+1)^2)-e^x^2 ( 2x^3 + 2x + x^2 ) dy}[/mm]
>
> >
> > Was macht denn noch das Integral dort?
> Das frage ich mich im Nachhinein auch, hatte mir das
> falsch abgeschrieben und das dy ans Ende geschrieben.
> > Also noch einmal ganz langsam. Erst einmal schön die
> > Leibnizformel notiert:
> >
> >
> [mm]A:=\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(y,x)dy=\int_{a(x)}^{b(x)}f_x(x,y)dy+f(b(x),x)b'(x)-f(a(x),x)a'(x)[/mm]
> Du hast jetzt A geschrieben, ich nehme an für Fläche.
> Also berechnet man doch so das Integral? Ich habe durch das
> F'(x) bisher gedacht, dass wir das Integral ableiten
> wollen. Irgendwie habe ich den Eindruck, denn Sinn nicht
> ganz verstanden zu haben.
Ich habe F'(x) einfach mal A genannt. Das hat keinen tieferen Sinn. Ich hätte auch F'(x) schreiben können. Warum ich das nicht gemacht habe, ist fraglich  Also mach dir keine Gedanken um das A.
> > Bei dir ist nun [mm]f(y,x)=f(y)=y^2e^{y^2}[/mm]
> > Wie du schon bemerkt hast, ist in der Tat [mm]f_x(y,x)=0[/mm]
> >
> > Es bleibt also
> >
> > f(b(x),x)b'(x)-f(a(x),x)a'(x)
> >
> > zu berechnen.
> >
> > So, jetzt schön langsam. Da du ja, gar keine
> > x-Abhängigkeit in der FUnktion hast, können wir auch
> > schreiben
> >
> > f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)
> Würde sich denn jetzt hier noch was ändern, wenn wir
> noch eine Abhängigkeit von x hätten? Nach der Formel
> müsste es doch bei Einsetzen bleiben?
Nein, an sich würde sich nix an der Tatsache ändern, dass du für y die Integralgrenzen einsetzen musst. Da aber dein f(x,y) ja gar kaeine x-Abhängigkeit hat, könnte man (der reinen Übersichtlichkeit) einfach f(y) schreiben. Tricky wird es ja erst, wenn deine Funktion f tatsächlich noch von x abhängt. Denn dann verschwindet auch das erste Integral nicht, und dies wäre noch zu berechnen.
>
> Vielen lieben Dank schonmal für diese super schnelle und
> gute Antwort!
Die Antwort von Leopold_Gast ist noch besser
Hinweis: Wenn du so eine komplexe Formel hast, mit mehreren Faktoren, dann berechne diese zunächst einzeln und setze diese dann einfach zusammen. So verlierst du nicht den Überblick.
>
> lg moody
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 So 09.02.2014 | | Autor: | moody |
Okay, ich glaube das Vorgehen habe ich jetzt verstanden. Danke! Das das Integral dann nicht wegfällt ist logisch, es klang jetzt erst so als würde sich auch beim Einsetzen noch was ändern.
Das rettet mir auf jeden Fall den Sonntag :)
> Hinweis: Wenn du so eine komplexe Formel hast, mit mehreren
> Faktoren, dann berechne diese zunächst einzeln und setze
> diese dann einfach zusammen. So verlierst du nicht den
> Überblick.
Ich hab es sogar so gemacht, und eigentlich hätte mir da schon auffallen müssen, dass das keinen Sinn macht, wie ich mir das mit dem dy am Ende aufgeschrieben habe ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
lg moody
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Leibniz-Regel? Wieso solch schweres Geschütz? Der aus der Schule bekannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und die Kettenregel genügen vollständig:
[mm]F(x) = \int_x^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y = \int_0^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y - \int_0^x g(y) ~ \mathrm{d}y[/mm]
Und jetzt hat man schon alles:
[mm]F'(x) = g(2x+1) \cdot 2 - g(x)[/mm]
Der Faktor [mm]2[/mm] rührt von der Kettenregel her (Ableitung der inneren Funktion). Und es ist hier speziell [mm]g(y) = y^2 \cdot \operatorname{e}^{y^2}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 09.02.2014 | | Autor: | moody |
Dir auch vielen lieben Dank!
> Leibniz-Regel? Wieso solch schweres Geschütz? Der aus der
> Schule bekannte Hauptsatz der Differential- und
> Integralrechnung und die Kettenregel genügen
> vollständig:
Ich hatte das so in Erinnerung, dass man für variable Grenzen Leibniz nehmen soll.
> [mm]F(x) = \int_x^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y = \int_0^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y - \int_0^x g(y) ~ \mathrm{d}y[/mm]
Soweit kann ich noch folgen.
> Und jetzt hat man schon alles:
>
> [mm]F'(x) = g(2x+1) \cdot 2 - g(x)[/mm]
>
> Der Faktor [mm]2[/mm] rührt von der Kettenregel her (Ableitung der
> inneren Funktion). Und es ist hier speziell [mm]g(y) = y^2 \cdot \operatorname{e}^{y^2}[/mm].
Wenn ich das jetzt richtig sehe, ist das ja auch der Teil, der mir nach Leibniz übrig bleibt.
Wenn ich Leibniz jetzt aber mal vergesse, habe ich ja da stehen:
[mm] \integral_{0}^{2x+1}{y^2 e^y^2 dy}
[/mm]
Aber so
[mm] \integral_{0}^{2x+1}{\bruch{\partial}{\partial x} y^2 e^y^2 dy}
[/mm]
bleibt da doch 0 stehen und ich komme nicht zum Ergebnis.
und mit
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} \integral_{0}^{2x+1}{y^2 e^y^2 dy} [/mm] müsste ich ja erst integrieren? Was sich bei [mm] e^y^2 [/mm] ja eher schwierig gestaltet.
Irgendwo ist hier bei mir der Wurm drin.
lg moody
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> Dir auch vielen lieben Dank!
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> > Leibniz-Regel? Wieso solch schweres Geschütz? Der aus der
> > Schule bekannte Hauptsatz der Differential- und
> > Integralrechnung und die Kettenregel genügen
> > vollständig:
> Ich hatte das so in Erinnerung, dass man für variable
> Grenzen Leibniz nehmen soll.
> > [mm]F(x) = \int_x^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y = \int_0^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y - \int_0^x g(y) ~ \mathrm{d}y[/mm]
>
> Soweit kann ich noch folgen.
> > Und jetzt hat man schon alles:
> >
> > [mm]F'(x) = g(2x+1) \cdot 2 - g(x)[/mm]
> >
> > Der Faktor [mm]2[/mm] rührt von der Kettenregel her (Ableitung der
> > inneren Funktion). Und es ist hier speziell [mm]g(y) = y^2 \cdot \operatorname{e}^{y^2}[/mm].
> Wenn ich das jetzt richtig sehe, ist das ja auch der Teil,
> der mir nach Leibniz übrig bleibt.
> Wenn ich Leibniz jetzt aber mal vergesse, habe ich ja da
> stehen:
>
> [mm]\integral_{0}^{2x+1}{y^2 e^y^2 dy}[/mm]
>
> Aber so
> [mm]\integral_{0}^{2x+1}{\bruch{\partial}{\partial x} y^2 e^y^2 dy}[/mm]
Du kannst nicht einfach nach irgendetwas im Integral ableiten.
Der Hinweis auf den Hauptsatz der Diff.-und INtegralrechnung wurde ja schon gegeben. Zur Erinnerung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis#Der_Satz
Dort steht nun auch, wie Ableitung und Integral zusammenhängen. Genau dies solltest du nun hier anwenden. Dazu war es jedoch erforderlich, dass man das Integral in zwei Teilintegral aufteilt.
Um zu verstehen, wie und warum nun Differentiation und Integration so zusammenhängen, sollte man sich dem Beweis des obigen Satzes zuwenden.
>
> bleibt da doch 0 stehen und ich komme nicht zum Ergebnis.
>
> und mit
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} \integral_{0}^{2x+1}{y^2 e^y^2 dy}[/mm]
> müsste ich ja erst integrieren? Was sich bei [mm]e^y^2[/mm] ja eher
> schwierig gestaltet.
>
> Irgendwo ist hier bei mir der Wurm drin.
>
> lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 So 09.02.2014 | | Autor: | moody |
> Der Hinweis auf den Hauptsatz der Diff.-und
> INtegralrechnung wurde ja schon gegeben. Zur Erinnerung:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Analysis#Der_Satz
>
> Dort steht nun auch, wie Ableitung und Integral
> zusammenhängen. Genau dies solltest du nun hier anwenden.
> Dazu war es jedoch erforderlich, dass man das Integral in
> zwei Teilintegral aufteilt.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe:
F(x) = [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx}
[/mm]
F(x) = G(b) - G(a)
F'(x) = G'(b) - G'(a)
F'(x) = g(b)g'(b) - g(a)g'(a)
?
lg moody
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[mm]F(x) = \int_a^x g(t) ~ \mathrm{d}t[/mm]
[mm]F'(x) = g(x)[/mm]
So und nicht anders geht der HDI. Wichtig ist: die untere Grenze ist fest, die obere variabel. [mm]F(x)[/mm] nennt man auch die Integralfunktion von [mm]g[/mm] zur unteren Grenze [mm]a[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 09.02.2014 | | Autor: | moody |
> [mm]F(x) = \int_a^x g(t) ~ \mathrm{d}t[/mm]
>
> [mm]F'(x) = g(x)[/mm]
Sorry, ich habe irgendwie das Gefühl dass ich mich gerade ziemlich bräsig anstelle. Woher kommt dann in deiner ersten Antwort die Ableitung via Kettenregeln rein?
F(x) = [mm] \integral_{a}^{2x+1}{g(y) dy}
[/mm]
F'(x) = g(2x+1)
lg moody
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Jetzt gibt es ein Riesendurcheinander, weil du permament die Bedeutung von [mm]F(x)[/mm] wechselst. Das [mm]F(x)[/mm], aus einem Satz zitiert, ist nicht unbedingt das [mm]F(x)[/mm], das du gegeben hast. Das ist so, als wenn jemand den Satz des Pythagoras in der Standardversion zitiert: [mm]a^2 + b^2 = c^2[/mm], in der konkreten Anwendung aber für die Hypotenuse [mm]a[/mm] und für die Katheten [mm]b[/mm] und [mm]t[/mm] verwendet. Er muß dann natürlich [mm]a^2 = b^2 + t^2[/mm] schreiben. Und die neuen [mm]a,b[/mm] haben mit denen aus der Standardversion nichts zu tun.
Ich schlage daher vor, daß wir uns an die ursprünglichen Bezeichnungen halten:
[mm]F(x) = \int_x^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y = \int_0^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y - \int_0^x g(y) ~ \mathrm{d}y[/mm]
Und von jetzt ab bedeutet [mm]F(x)[/mm] dieses und nichts anderes mehr! Und wenn du eine weitere Funktion aus einem Satz zitierst und die im Satz zufälligerweise auch [mm]F(x)[/mm] heißt, dann mußt du den Satz entsprechend umformulieren, damit du nicht mit unserem [mm]F(x)[/mm] durcheinander kommst. Anders geht das in der Mathematik nicht. Das war schon immer so.
Jetzt soll
[mm]H(x) = \int_0^{2x+1} g(y) ~ \mathrm{d}y[/mm]
differenziert werden. Wo sonst im HDI [mm]x[/mm] steht, steht jetzt [mm]2x+1[/mm]. Es liegt somit eine Verkettung vor:
[mm]H(x) = L(2x+1) \ \ \text{mit} \ \ L(u) = \int_0^u g(y) ~ \mathrm{d}y[/mm]
Nach der Kettenregel gilt:
[mm]H'(x) = L'(2x+1) \cdot 2[/mm]
Und nach dem HDI gilt: [mm]L'(u) = g(u)[/mm]. Insgesamt also
[mm]H'(x) = g(2x+1) \cdot 2[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 So 09.02.2014 | | Autor: | moody |
Vielen dank für die ausführliche Antwort. Hat endlich Klick gemacht! Ich hatte mir das auch schon fast so gedacht, aber falsch aufgeschrieben hier. Mit korrekter Benennung wie von dir ist die Sache aucb klar :)
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