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| Aufgabe | Die nachfolgenden n=8 Werte
15.3, -0.3, 20.2, 13.2, 2.5, 11.7, -1.8 und 8.0
sollen als Beobachtungen von n unabhängigen Zufallsvariablen [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] je mit der Dichte
[mm] f_{\mu, \sigma} [/mm] (x) = [mm] \bruch{1}{2\sigma} [/mm] exp(- [mm] \bruch{|x-\mu|}{\sigma}), [/mm] - [mm] \infty [/mm] < x < [mm] \infty,
[/mm]
[mm] \mu \in \IR [/mm] und [mm] \sigma [/mm] > 0 unbekannte Parameter, aufgefasst werden können. Bestimmen Sie mit der Momentenmethode Schätzwerte für [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma. [/mm] |
Hallo!
Nachdem die erste Aufgabe so gut geklappt hat, hab ich mich an der zweiten versucht. Hierbei bin ich aber ins Stocken gekommen. Wäre toll, wenn mir hier jemand weiter helfen könnte.
Zuerst kann man zeigen das die Verteilung symmetrisch um [mm] \mu [/mm] verteilt ist, dass heißt dann das [mm] \mu [/mm] gleich der Erwartungswert ist.
[mm] f_{\mu, \sigma} (\mu [/mm] - x) = [mm] f_{\mu, \sigma} (\mu [/mm] + x)
[mm] \bruch{1}{2\sigma} [/mm] exp(- [mm] \bruch{|\mu - x-\mu|}{\sigma}) \bruch{1}{2\sigma} [/mm] exp(- [mm] \bruch{|\mu + x-\mu|}{\sigma})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2\sigma} [/mm] exp(- [mm] \bruch{|- x|}{\sigma}) \bruch{1}{2\sigma} [/mm] exp(- [mm] \bruch{|x|}{\sigma})
[/mm]
und da |x| = |-x|, ist [mm] \mu [/mm] der Erwartungswert von X.
E(X) = [mm] \overline{X} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} X_{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{8} [/mm] (15.3 - 0.3 + 20.2 + 13.2 + 2.5 + 11.7 - 1.8 + 8.0)
= [mm] \bruch{68.8}{8}
[/mm]
= 8.6
Also, ist [mm] \mu [/mm] = 6.8
Aber wie bekomme ich jetzt [mm] \sigma [/mm] heraus?
Man könnte ja noch die empirische Varianz ausrechnen:
var(X) = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} (X_{n}- \overline{X})
[/mm]
Und dann die Dichte integrieren:
var(X) = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{(x -\mu)^2 \bruch{1}{2\sigma} exp(- \bruch{|x-\mu|}{\sigma}) dx}
[/mm]
Das würd ich dann mit Substitution machen:
s = [mm] \bruch{|x-\mu|}{\sigma} [/mm] und ds = [mm] \bruch{1}{\sigma} [/mm] dx
var(X) = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty} {\sigma^2 s^2 \bruch{1}{2\sigma} exp(- s) \sigma ds}
[/mm]
= [mm] \bruch{\sigma^2}{2} \integral_{- \infty}^{\infty}{s^2 exp(- s) ds}
[/mm]
ja, das jetzt zweimal partiell abgeleitet ergibt folgendes:
var(X) = [mm] \bruch{\sigma^2}{2} [/mm] exp(-s) [mm] (-s^2 [/mm] - 2s- 2) [mm] |_{- \infty}^{\infty}
[/mm]
= - exp(- [mm] \bruch{|x-\mu|}{\sigma}) (\bruch{1}{2} [/mm] (x- [mm] \mu)^2 [/mm] + [mm] \sigma [/mm] |x - [mm] \mu| [/mm] + 1) [mm] |_{- \infty}^{\infty}
[/mm]
hm.. irgendwie scheint mir das nicht der richtige Weg zu sein. Denk ich zu kompliziert geht das einfacher? Jetzt hab ich ja noch zwei [mm] \sigma [/mm] in meiner Gleichung. Das kann nicht richtig sein. Außerdem mit den Grenzen - [mm] \infty [/mm] und [mm] \infty [/mm] fallen ja dann irgendwie alle Terme raus, glaub ich.
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Und ich hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Di 30.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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