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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
z(x, y) = [mm] \bruch{sinh(y)-xy+\bruch{2x^{2}}{\wurzel{x^{2}-1}}artanh(\bruch{x-1}{\wurzel{x^{2}-1}}tanh \bruch{y}{2})}{y-\bruch{2x}{\wurzel{x^{2}-1}}artanh(\bruch{x-1}{\wurzel{x^{2}-1}}tanh \bruch{y}{2})} [/mm] mit x > 1, 0 < y < arsinh(1)
Zeigen Sie, dass für z = const. näherungsweise gilt: y [mm] \approx [/mm] const. für alle x > 1 |
Hallo,
die gegebene Funktion ist etwas umständlich. Deshalb bereitet es mir große Probleme das Geforderte zu zeigen.
Mein bisheriger Ansatz:
Wenn aus z = const. --> y [mm] \approx [/mm] const. folgt, sollte auch der umgekehrte Fall gelten: Aus y = const. folgt dann z [mm] \approx [/mm] const.
Mit y = const. sollte dann weiterhin gelten: [mm] \bruch{\partial z}{\partial x} \approx [/mm] 0
oder mathematisch vielleicht besser ausgedrückt:
[mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] < [mm] \varepsilon, [/mm] mit (beispielsweise) [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{1000}
[/mm]
Die Ableitung [mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] kann man noch "von Hand" aufstellen. Zu zeigen, dass für diese Ableitung [mm] \bruch{\partial z}{\partial x} \approx [/mm] 0 gilt bzw. am Angeben einer oberen Schranke bin ich gescheitert - alleine schon aufgrund der Länge aller Terme.
Deshalb bin ich wie folgt vorgegangen:
Für ein gegebenes y habe ich [mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] im interessanten Bereich von x (x [mm] \in [/mm] ]1; 20]) geplottet. (Typische Werte sind z.B. x = 3,12 und y = 0,43.)
Es hat sich - anhand des Graphen - gezeigt, dass für jedes x > 1 gilt: [mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000}.
[/mm]
Dies ist natürlich kein Beweis, aber es hat für meine Zwecke bisher immer ausgereicht und mit der Annahme y [mm] \approx [/mm] const. für z = const. bin ich bisher auch immer gut gefahren.
Nicht zwingend erforderlich - aber trotzdem schön - wäre es, dies mathematisch belegen zu können. Ich bin mir nicht sicher, ob mein Vorgehen, um dies zu zeigen, überhaupt mathematisch richtig ist. Vielleicht gibt es ja auch einen deutlich eleganteren Weg, um dies zu zeigen...
(-: Schöne Grüße
franzzink
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> Gegeben sei die Funktion
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> z(x, y) =
> [mm]\bruch{sinh(y)-xy+\bruch{2x^{2}}{\wurzel{x^{2}-1}}artanh(\bruch{x-1}{\wurzel{x^{2}-1}}tanh \bruch{y}{2})}{y-\bruch{2x}{\wurzel{x^{2}-1}}artanh(\bruch{x-1}{\wurzel{x^{2}-1}}tanh \bruch{y}{2})}[/mm]
> mit x > 1, 0 < y < arsinh(1)
>
> Zeigen Sie, dass für z = const. näherungsweise gilt: y
> [mm]\approx[/mm] const. für alle x > 1
> Hallo,
>
> die gegebene Funktion ist etwas umständlich. Deshalb
> bereitet es mir große Probleme das Geforderte zu zeigen.
>
> Mein bisheriger Ansatz:
>
> Wenn aus z = const. --> y [mm]\approx[/mm] const. folgt, sollte auch
> der umgekehrte Fall gelten: Aus y = const. folgt dann z
> [mm]\approx[/mm] const.
Dieser Ansatz ist logisch gesehen ziemlich wacklig, wenn
nicht weitere geeignete Annahmen gemacht werden ...
> Mit y = const. sollte dann weiterhin gelten:
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial x} \approx[/mm] 0
>
> oder mathematisch vielleicht besser ausgedrückt:
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] < [mm]\varepsilon,[/mm] mit
> (beispielsweise) [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{1000}[/mm]
>
> Die Ableitung [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] kann man noch
> "von Hand" aufstellen. Zu zeigen, dass für diese Ableitung
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial x} \approx[/mm] 0 gilt bzw. am
> Angeben einer oberen Schranke bin ich gescheitert - alleine
> schon aufgrund der Länge aller Terme.
>
>
> Deshalb bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> Für ein gegebenes y habe ich [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm]
> im interessanten Bereich von x (x [mm]\in[/mm] ]1; 20]) geplottet.
> (Typische Werte sind z.B. x = 3,12 und y = 0,43.)
> Es hat sich - anhand des Graphen - gezeigt, dass für
> jedes x > 1 gilt: [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{1000}.[/mm]
>
> Dies ist natürlich kein Beweis, aber es hat für meine
> Zwecke bisher immer ausgereicht und mit der Annahme y
> [mm]\approx[/mm] const. für z = const. bin ich bisher auch immer
> gut gefahren.
>
> Nicht zwingend erforderlich - aber trotzdem schön - wäre
> es, dies mathematisch belegen zu können. Ich bin mir nicht
> sicher, ob mein Vorgehen, um dies zu zeigen, überhaupt
> mathematisch richtig ist. Vielleicht gibt es ja auch einen
> deutlich eleganteren Weg, um dies zu zeigen...
>
> (-: Schöne Grüße
> franzzink
Hallo franzzink,
war die Aufgabe einfach so gegeben ?
Woher kommt denn das Ungetüm von Funktion ?
Entweder stammt es aus einem bestimmten Anwendungsproblem -
dann könnte die Aufgabe durchaus Sinn machen - oder aber aus
der etwas abstrusen (bis fiesen) Phantasie eines Aufgabenbastlers.
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 09.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Guten Morgen Al-Chwarizmi,
die Gleichung kommt aus einem Anwendungsfall. Es geht um die Seile von Hängebrücken. x und z sind Konstruktionsparameter, die man - mehr oder weniger - frei wählen kann. Mit der genannten Gleichung wird y bestimmt, was ein Maß für die Steigung der Seilkurve in den Aufhängepunkten ist. Da y selbst als Parameter in weitere Gleichungen eingeht (Seilkräfte, genauer Verlauf der Seilkurve etc.), wäre es praktisch sagen zu können, dass sich y nicht merklich verändert, solange z = const.
Schöne Grüße
franzzink
P.S.: Die "typischen Werte", die angegeben sind, stammen von der Golden Gate Bridge.
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> Guten Morgen Al-Chwarizmi,
>
> die Gleichung kommt aus einem Anwendungsfall. Es geht um
> die Seile von Hängebrücken. x und z sind
> Konstruktionsparameter, die man - mehr oder weniger - frei
> wählen kann. Mit der genannten Gleichung wird y bestimmt,
> was ein Maß für die Steigung der Seilkurve in den
> Aufhängepunkten ist. Da y selbst als Parameter in weitere
> Gleichungen eingeht (Seilkräfte, genauer Verlauf der
> Seilkurve etc.), wäre es praktisch sagen zu können, dass
> sich y nicht merklich verändert, solange z = const.
>
> Schöne Grüße
> franzzink
>
> P.S.: Die "typischen Werte", die angegeben sind, stammen
> von der Golden Gate Bridge.
Danke !
So gefällt mir die Aufgabe schon wesentlich besser !
Wenn du uns noch sagen könntest, was man sich konkret
(an der Brücke) unter x und (vor allem) z vorstellen
kann, dann wäre dies sicher nützlich und motivierend,
sich mit der mathematischen Frage auseinanderzusetzen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Do 09.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Wenn es motiviert, mache ich das gerne... 
z ist das Verhältnis von Seillänge zu Spannweite, x ist das Verhältnis von Streckenlast des Fahrbahnträgers zu Streckenlast der Trageseile.
Wiederum für die Golden Gate Bridge gilt näherungsweise:
z [mm] \approx \bruch{1321 m}{1280 m}
[/mm]
x [mm] \approx \bruch{290.000 \bruch{N}{m}}{93.000 \bruch{N}{m}}
[/mm]
P.S.: Der Ausdruck (x + z) bzw. (x + C) ist somit ein Maß für das Gesamtgewicht aller hängenden Brückenteile.
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> Gegeben sei die Funktion
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> [mm] z(x, y)\ =\ \bruch{sinh(y)-xy+\bruch{2x^{2}}{\wurzel{x^{2}-1}}artanh(\bruch{x-1}{\wurzel{x^{2}-1}}tanh \bruch{y}{2})}{y-\bruch{2x}{\wurzel{x^{2}-1}}artanh(\bruch{x-1}{\wurzel{x^{2}-1}}tanh \bruch{y}{2})}[/mm]
> mit x > 1, 0 < y < arsinh(1)
>
> Zeigen Sie, dass für z = const. näherungsweise gilt:
> y [mm]\approx[/mm] const. für alle x > 1
ein Ansatz:
man kann die Funktion in der Form
$\ z(x,y)\ =\ [mm] \frac{sinh(y)-x*n(x,y)}{n(x,y)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{sinh(y)}{n(x,y)}-x$
[/mm]
schreiben, wobei n einfach die ursprüngliche Nennerfunktion ist.
Aus der Bedingung z(x,y) = const. = C folgt dann die
Gleichung
$\ (C+x)*n(x,y)\ =\ sinh(y)$
Ob dies wirklich weiterhilft, weiß ich nicht. Bestimmt
sollte man sich aber einmal mit den Eigenschaften der
Funktion n auseinandersetzen. Vielleicht lässt sich da
ja noch etwas vereinfachen.
LG Al-Chw.
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Danke für die Antwort. Das hat mich schon weitergebracht.
Aus den Graphen entnimmt man:
n(x, y) hat für x [mm] \to [/mm] 1 und y [mm] \to [/mm] arsinh(1) sein Maximum und weißt an dieser Stelle auch den größten Gradienten auf. Je weiter man sich von dieser Stelle entfernt, desto mehr gilt: n(x, y) [mm] \to [/mm] 0.
g(x, y) = [mm] \bruch{n(x, y)}{sinh(y)} [/mm] ist - in sehr guter Näherung - nur noch von x abhängig: g(x, y) [mm] \approx [/mm] g(x)
h(x, y) = (C + [mm] x)*\bruch{n(x, y)}{sinh(y)} [/mm] beschreibt - wenn man ein wenig großzügig ist - fast eine Ebene, die parallel zur von x- und y-Achse aufgespannten Ebene ist. Lediglich für x [mm] \to [/mm] 1 und y [mm] \to [/mm] arsinh(1) "senkt sich diese 'Ebene' ein wenig ab", was aber auch nicht weiter verwunderlich sind, weil dies die Grenze ist, aber der die Näherung y [mm] \approx. [/mm] const. für z = const. nicht mehr gilt.
Dies alles bestätigt mich in meiner Vermutung, dass die Näherung y [mm] \approx. [/mm] const. für z = const. mathematisch wohlbegründet ist, aber ich kann es eben nicht schlüssig beweisen. Dabei drehe ich mich im Kreis. Hat hier vielleicht noch jemand eine Idee oder einen Ansatz, um dies zu zeigen?
Vielen Dank für alle Antworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 25.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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