Parametris. der Lösungsmenge < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo! 
Ich bitte um eine Dursicht meiner Lösung zu Teilaufgabe (a):
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] 1\*x_{2} [/mm] + [mm] 0\*x_{3} [/mm] + [mm] 2\*x_{4} [/mm] + [mm] 1\*x_{5} [/mm] = 2
[mm] 1\*x_{3} [/mm] + [mm] 5\*x_{4} [/mm] + [mm] 0\*x_{5} [/mm] = 1
0 = 0
Parametrisierung:
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] s_{2} [/mm] , [mm] x_{5} [/mm] = [mm] s_{3}
[/mm]
L = {(1 - [mm] 5s_{2} [/mm] , [mm] s_{2}) [/mm] : [mm] s_{2} \in \IR [/mm] }
Das Beispiel in der Vorlesung war leider einfacher als diese Aufgabe, von daher weiß ich nicht, ob ich das Erlernte richtig anwenden konnte...
Vielen Dank für Eure Mühe!
Gruß
el_grecco
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo el_grecco
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
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> Ich bitte um eine Dursicht meiner Lösung zu Teilaufgabe
> (a):
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [mm]1\*x_{2}[/mm] + [mm]0\*x_{3}[/mm] + [mm]2\*x_{4}[/mm] + [mm]1\*x_{5}[/mm] = 2
> [mm]1\*x_{3}[/mm] + [mm]5\*x_{4}[/mm] + [mm]0\*x_{5}[/mm] = 1
> 0 = 0
>
> Parametrisierung:
>
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]s_{2}[/mm] , [mm]x_{5}[/mm] = [mm]s_{3}[/mm]
Ok, außerdem hast du [mm] $x_1$ [/mm] als freien Parameter wählbar, wie in der Aufgabe setze [mm] $x_1:=s_1$ [/mm] mit [mm] $s_1\in\IR$
[/mm]
>
> L = [mm] \{(1 - 5s_{2} , s_{2}) : s_{2} \in \IR \}
[/mm]
Nein, die Lösungsgesamtheit bildet doch einen affinen Unterraum des [mm] $\IR^5$, [/mm] Lösungsvektoren sind aus dem [mm] $\IR^5$
[/mm]
Mit [mm] x_4=s_2$ [/mm] gehe in die 2.Gleichung:
[mm] $x_3+5x_4=1$, [/mm] also [mm] $x_3=1-5x_4=1-5s_2$
[/mm]
Mit [mm] $x_4=s_2,x_5=s_3$ [/mm] gehe in die erste Gleichung:
[mm] $x_2+2x_4+x_5=2$, [/mm] also [mm] $x_2=2-2x_4-x_5=2-2s_2-s_3$
[/mm]
Damit hast du für einen allg. Lösungsvektor [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{s_1\\2-2s_2-s_3\\1-5s_2\\s_2\\s_3}$ [/mm] mit [mm] $s_1,s_2,s_3\in\IR$
[/mm]
Das kannst du auch schreiben als [mm] $\vektor{0\\2\\1\\0\\0}+s_1\cdot{}\vektor{1\\0\\0\\0\\0}+s_2\cdot{}\vektor{0\\-2\\-5\\1\\0}+s_3\cdot{}\vektor{0\\-1\\0\\0\\1}$ [/mm] mit [mm] $s_i\in\IR, [/mm] i=1,2,3$
Und noch anders als affiner Raum:
[mm] $\mathbb{L}=\vektor{0\\2\\1\\0\\0}+\left\langle\vektor{1\\0\\0\\0\\0}, \vektor{0\\-2\\-5\\1\\0}, \vektor{0\\-1\\0\\0\\1}\right\rangle$
[/mm]
>
>
> Das Beispiel in der Vorlesung war leider einfacher als
> diese Aufgabe, von daher weiß ich nicht, ob ich das
> Erlernte richtig anwenden konnte...
>
> Vielen Dank für Eure Mühe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Sa 07.11.2009 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, schachuzipus!
Schade, dass das in der Vorlesung nicht auf diese Art vermittelt wird...
Gruß
el_grecco
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Jetzt habe ich doch noch zwei Fragen zum weiteren Vorgehen:
Besteht die Lösung zu Teilaufgabe (b) nur in der Aussage, dass das System aufgrund von [mm] 0\*x_{1} [/mm] + [mm] 0\*x_{2} [/mm] + [mm] 0\*x_{3} [/mm] + [mm] 0\*x_{4} [/mm] + [mm] 0\*x_{5} [/mm] = 1 und damit rg(A) < rg(A|b), keine Lösung besitzt?
Bezüglich Teilaufgabe (c):
Für den Fall, dass rg(A) > rg(A|b) ist, haben wir keine Regel aufgeschrieben. Muss ich für diesen Fall wie in Teilaufgabe (a) vorgehen?
Danke.
Gruß
el_grecco
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Hallo nochmal,
> Jetzt habe ich doch noch zwei Fragen zum weiteren
> Vorgehen:
>
> Besteht die Lösung zu Teilaufgabe (b) nur in der Aussage,
> dass das System aufgrund von [mm]0\*x_{1}[/mm] + [mm]0\*x_{2}[/mm] + [mm]0\*x_{3}[/mm]
> + [mm]0\*x_{4}[/mm] + [mm]0\*x_{5}[/mm] = 1 und damit rg(A) < rg(A|b), keine
> Lösung besitzt?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
[mm] 0\cdot{}\text{irgendwas}=0$
[/mm]
Da kannst du für die [mm] $x_i$ [/mm] einsetzen, was du willst 
>
> Bezüglich Teilaufgabe (c):
> Für den Fall, dass rg(A) > rg(A|b) ist,
?? Wieso ist das so?
Rechterhand steht doch der Nullvektor, also [mm] $\vec{b}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Das ändert doch für den Rang von A im Vergleich zu (A|b) nix.
Du hast hier also ein homogenes LGS, das immer lösbar ist.
Falls eindeutig, so ist es der Nullvektor [mm] $\vektor{0\\0\\0\\0\\0}$
[/mm]
Hier ist es aber wegen der Ranggeschichte nicht eind.
> haben wir keine
> Regel aufgeschrieben. Muss ich für diesen Fall wie in
> Teilaufgabe (a) vorgehen?
Genau, der Rang ist 3, du hast 5-3=2 freie Variablen und damit einen 2-dimensionalen Untervektorraum des [mm] $\IR^5$ [/mm] als Lösungsraum
>
> Danke.
>
> Gruß
> el_grecco
LG
schachuzipus
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Nochmals vielen Dank, schachuzipus!
Ich bin bei der Aufgabe (c) jetzt so vorgegangen und habe folgende Lösung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] 1\*x_{1} [/mm] + [mm] 0\*x_{2} [/mm] + [mm] 0\*x_{3} [/mm] + [mm] 2\*x_{4} [/mm] + [mm] 0\*x_{5} [/mm] = 0
[mm] 1\*x_{2} [/mm] + [mm] 0\*x_{3} [/mm] + [mm] 1\*x_{4} [/mm] + [mm] 1\*x_{5} [/mm] = 0
[mm] 1\*x_{3} [/mm] + [mm] 1\*x_{4} [/mm] + [mm] 1\*x_{5} [/mm] = 0
Parametrisierung:
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] s_{1} [/mm] , [mm] x_{5} [/mm] = [mm] s_{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] + [mm] 3x_{5} [/mm] = 0
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -x_{4} [/mm] - [mm] 3x_{5} [/mm] = [mm] -s_{1} [/mm] - [mm] 3s_{2}
[/mm]
allgemeiner Lösungsvektor: [mm] \pmat{x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}} [/mm] = [mm] \pmat{-s_{1} -3s_{2}\\ s_{1} \\ s_{2}} [/mm] mit [mm] s_{1}, s_{2} \in \IR
[/mm]
Ich hoffe, dass das soweit alles richtig und vollständig ist?
Gruß
el_grecco
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo el_grecco,
> Nochmals vielen Dank, schachuzipus!
>
> Ich bin bei der Aufgabe (c) jetzt so vorgegangen und habe
> folgende Lösung:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [mm]1\*x_{1}[/mm] + [mm]0\*x_{2}[/mm] + [mm]0\*x_{3}[/mm] + [mm]2\*x_{4}[/mm] + [mm]0\*x_{5}[/mm] = 0
> [mm]1\*x_{2}[/mm] + [mm]0\*x_{3}[/mm] + [mm]1\*x_{4}[/mm] + [mm]1\*x_{5}[/mm] = 0
> [mm]1\*x_{3}[/mm] + [mm]1\*x_{4}[/mm] + [mm]1\*x_{5}[/mm] = 0
>
>
> Parametrisierung:
>
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]s_{1}[/mm] , [mm]x_{5}[/mm] = [mm]s_{2}[/mm]
>
> [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] + [mm]3x_{5}[/mm] = 0
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]-x_{4}[/mm] - [mm]3x_{5}[/mm] = [mm]-s_{1}[/mm] - [mm]3s_{2}[/mm]
>
> allgemeiner Lösungsvektor: [mm]\pmat{x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}}[/mm]
> = [mm]\pmat{-s_{1} -3s_{2}\\ s_{1} \\ s_{2}}[/mm] mit [mm]s_{1}, s_{2} \in \IR[/mm]
Hier fehlen [mm]x_{1}, \ x_{2}[/mm],
denn der Lösungsraum ist ein 5-dimensionaler Unterraum des [mm]\IR^{5}[/mm].
Der allgemeine Lösungsvektor sieht dann so aus:
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}}
= \pmat{... \\ ... \\ -s_{1} -3s_{2}\\ s_{1} \\ s_{2}}[/mm] mit [mm]s_{1}, s_{2} \in \IR[/mm]
>
> Ich hoffe, dass das soweit alles richtig und vollständig
> ist?
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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Danke, MathePower.
Jetzt bin ich aber etwas verwirrt:
schachuzipus sprach von einem zweidimensionalem Unterraum, du aber von einem fünfdimensionalen...?
(Gut möglich, dass ich etwas falsch verstanden habe.)
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Danke, MathePower.
>
> Jetzt bin ich aber etwas verwirrt:
>
> schachuzipus sprach von einem zweidimensionalem Unterraum,
> du aber von einem fünfdimensionalen...?
Ich meinte damit, daß der Lösungsvektor 5 Komponenten hat.
Demnach ist der Lösungsvektor aus [mm]\IR^{5}[/mm].
Der zweidimensionale Unterraum bezieht sich auf die Anzahl
der frei wählbaren Variablen, hier also 2.
>
> (Gut möglich, dass ich etwas falsch verstanden habe.)
>
> Gruß
> el_grecco
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Sa 07.11.2009 | | Autor: | el_grecco |
Danke, jetzt ist alles klar!
Gruß
el_grecco
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