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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Pikhand |
| Aufgabe | Wir wollen zeigen, dass man reguläre Kurven "gerade biegen" kann.
Sei [mm] \gamma [/mm] eine reguläre parametrisierte Kurve in [mm] \IR², [/mm] d.h. [mm] \gamma \in C^{\infty} [/mm] ((a,b), [mm] \IR²) [/mm] mit [mm] \gamma'\not=0 [/mm] für alle [mm] t\in(a,b).
[/mm]
Zeigen Sie, dass es zu jedem [mm] t_0 \in [/mm] (a,b) ein [mm] \epsilon>0, [/mm] eine Umgebung [mm] U\subset\IR² [/mm] von [mm] \gamma(t_0) [/mm] und einen Diffeomorphismus
[mm] \Phi:U-->\Phi(U) [/mm] gibt, so dass für alle t [mm] \in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon) [/mm] gilt:
[mm] \gamma(t) \in [/mm] U, [mm] \Phi(\gamma(t))=(t,0)
[/mm]
Wieso kann eine Kurve im allgemeinen nicht global auf (a,b), sondern nur lokal, d.h. auf [mm] (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon), [/mm] gerade gebogen werden?
Falls [mm] \gamma [/mm] zusätzlich injektiv ist, kann man dann global gerade biegen?
Hinweis: Im Fall [mm] \gamma_1'(t_0)\not=0 [/mm] betrachten wir die Hilfsfunktion [mm] \alpha_1:(a,b) \times \IR->\IR², \alpha_1(t,x)=\gamma(t)+(0,x) [/mm] und wenden den Satz über die Umkehrfunktion an. Was kann man bei [mm] \gamma_1'(t_0) [/mm] machen? |
Hallo,
bei der Aufgabe meinte auch unser Übungsgruppenleiter, dass wir das kaum schaffen können. Aber ich würde trotzdem gerne was dazu machen, es wäre also toll wenn mir jemand einen Ansatz oder noch besser ein bisschen mehr geben könnte.
Vielen Dank,
Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:05 Di 16.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Steffen
> Wir wollen zeigen, dass man reguläre Kurven "gerade biegen"
> kann.
> Sei [mm]\gamma[/mm] eine reguläre parametrisierte Kurve in [mm]\IR^2,[/mm]
> d.h. [mm]\gamma \in C^{\infty}[/mm] ((a,b), [mm]\IR^2)[/mm] mit [mm]\gamma'\not=0[/mm]
> für alle [mm]t\in(a,b).[/mm]
Das soll [mm] $\gamma'(t) \neq [/mm] 0$ fure alle $t [mm] \in [/mm] (a, b)$ heissen, oder?
> Zeigen Sie, dass es zu jedem [mm]t_0 \in[/mm] (a,b) ein [mm]\epsilon>0,[/mm]
> eine Umgebung [mm]U\subset\IR²[/mm] von [mm]\gamma(t_0)[/mm] und einen
> Diffeomorphismus
> [mm]\Phi:U-->\Phi(U)[/mm] gibt, so dass für alle t [mm]\in (t_0-\epsilon,t_0+\epsilon)[/mm]
> gilt:
> [mm]\gamma(t) \in[/mm] U, [mm]\Phi(\gamma(t))=(t,0)[/mm]
Beschaeftige dich doch erstmal hiermit. Probier mal den Hinweis:
> Hinweis: Im Fall [mm]\gamma_1'(t_0)\not=0[/mm] betrachten wir die
> Hilfsfunktion [mm]\alpha_1:(a,b) \times \IR \to \IR^2[/mm], [mm]\alpha_1(t,x)=\gamma(t)+(0,x)[/mm]
> und wenden den Satz über die Umkehrfunktion an.
> Wieso kann eine Kurve im allgemeinen nicht global auf
> (a,b), sondern nur lokal, d.h. auf
> [mm](t_0-\epsilon,t_0+\epsilon),[/mm] gerade gebogen werden?
> Falls [mm]\gamma[/mm] zusätzlich injektiv ist, kann man dann global
> gerade biegen?
Die zweite Frage gibt einen Hinweis auf die erste. Und von mir noch einen Hinweis: die zweite Frage kann ebenfalls negativ beantwortet werden, dazu muss man aber etwas nachdenken (beachte: die Kurven sind auf $(a, b)$ definiert, nicht auf $[a, b]$).
> Was kann man bei [mm]\gamma_1'(t_0)[/mm] machen?
Da fehlt ein $= 0$, oder?
Tipp hierzu: kann es sein, dass [mm] $\gamma_1'(t_0) [/mm] = [mm] \gamma_2'(t_0) [/mm] = 0$ ist?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Di 16.06.2009 | | Autor: | Pikhand |
Dankeschön :)
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