Part.Abl. von f(r) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Beispiel ist eigentlich aus der Physik, aber die Frage dazu ist mathematisch.
geg. [mm] U:\IR^{3}->\IR [/mm] mit [mm] U(\vec{r})=f(r)
[/mm]
wobei f(r) eine Funktion des Abstand ist, d.h. [mm] r=||\vec{r}||=\wurzel{x^2+y^2+z^2}.
[/mm]
Berechnen sie den Gradienten von U und stellen Sie ihn nur mit [mm] \vec{r} [/mm] und f(r) (bzw f'(r) und f''(r) da. |
Hallo!
Ich habe mir also gedacht dass
U=f [mm] \circ [/mm] D
mit [mm] f:\IR->\IR [/mm] wie oben und [mm] D:\IR^{3}->\IR, [/mm] D=||.||, die Abstandsfunktion. Also [mm] U(\vec{r})=f(D(\vec{r}))=f(||\vec{r}||)
[/mm]
So, jetzt muss also der Gradient berechnet werden, dazu müssen die partiellen Ableitungen her:
Das wäre doch dann nach der Regel:
[mm] \bruch{\delta U}{\delta x} [/mm] = [mm] \bruch{\delta f}{\delta D(x)} [/mm] * [mm] \bruch{\delta D}{\delta x}
[/mm]
Aber was soll denn dann [mm] \bruch{\delta f}{\delta D(x)} [/mm] sein? Ich weiß dann nicht was D(x) ist und erst recht kann ich keine partielle Ableitung von f (als Fkt in einer Variablen) nach x bilden :(
Kann mir jemand aushelfen? 
Liebe Grüße,
Laura
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Hallo lauralikesmath,
> Das Beispiel ist eigentlich aus der Physik, aber die Frage
> dazu ist mathematisch.
> geg. [mm]U:\IR^{3}->\IR[/mm] mit [mm]U(\vec{r})=f(r)[/mm]
> wobei f(r) eine Funktion des Abstand ist, d.h.
> [mm]r=||\vec{r}||=\wurzel{x^2+y^2+z^2}.[/mm]
>
> Berechnen sie den Gradienten von U und stellen Sie ihn nur
> mit [mm]\vec{r}[/mm] und f(r) (bzw f'(r) und f''(r) da.
>
> Hallo!
>
>
> Ich habe mir also gedacht dass
> U=f [mm]\circ[/mm] D
> mit [mm]f:\IR->\IR[/mm] wie oben und [mm]D:\IR^{3}->\IR,[/mm] D=||.||, die
> Abstandsfunktion. Also
> [mm]U(\vec{r})=f(D(\vec{r}))=f(||\vec{r}||)[/mm]
>
>
> So, jetzt muss also der Gradient berechnet werden, dazu
> müssen die partiellen Ableitungen her:
> Das wäre doch dann nach der Regel:
> [mm]\bruch{\delta U}{\delta x}[/mm] = [mm]\bruch{\delta f}{\delta D(x)}[/mm]
> * [mm]\bruch{\delta D}{\delta x}[/mm]
>
> Aber was soll denn dann [mm]\bruch{\delta f}{\delta D(x)}[/mm] sein?
> Ich weiß dann nicht was D(x) ist und erst recht kann ich
> keine partielle Ableitung von f (als Fkt in einer
> Variablen) nach x bilden :(
Die Bedeutung von D steht doch in der Aufgabe:
[mm]U(\vec{r})=f(D(\vec{r}))=f(||\vec{r}||)=f\left(r\right)[/mm]
[mm]\bruch{\delta f}{\delta D(x)}[/mm] ist dann nichts anderes als [mm]\bruch{\delta f}{\delta r}[/mm] mit [mm]r=r\left(x,y,z\right)=\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}[/mm]
>
> Kann mir jemand aushelfen?
>
> Liebe Grüße,
> Laura
Gruss
MathePower
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