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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Part. Abl. Logarithmusfunktion
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Part. Abl. Logarithmusfunktion: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Mo 11.04.2011
Autor: Bellona

Aufgabe
Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung
folgender Funktionen:

z = [mm] ln(x^{(xy)}) [/mm]

Hallo,

leider bin ich bei der Aufgabe sehr unsicher, ob ich das richtig rechne, vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen.
Ich habe folgende Rechnung durchgeführt:

[mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] = [mm] \bruch {1}{x^{xy}} [/mm] * [mm] xy*x^{(xy-1)} [/mm]
= [mm] \bruch {1}{x^{xy}} [/mm] * [mm] xy*x^{xy}*x^{-1} [/mm]
= [mm] \bruch {1}{x^{xy}} [/mm] * [mm] \bruch {xy*x^{xy}}{x} [/mm]
= [mm] \bruch {xy*x^{xy}}{x*x^{xy}} [/mm]
= y

Irgendwie erscheint es mir aber merkwürdig, dass nur y übrig bleibt, denn so wäre die Ableitung zweiter Ordnung ja einfach [mm] \bruch {\delta f}{\delta x \delta y} [/mm] = 0

Wäre gut, wenn mir jemand bis Donnerstagabend helfen könnte.

Gruss,

Bellona

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Part. Abl. Logarithmusfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Mo 11.04.2011
Autor: schachuzipus

Hallo bellona,


> Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und
> zweiter Ordnung
>  folgender Funktionen:
>  
> z = [mm]ln(x^{(xy)})[/mm]
>  Hallo,
>  
> leider bin ich bei der Aufgabe sehr unsicher, ob ich das
> richtig rechne, vielleicht kann mir da jemand
> weiterhelfen.

Vorab: es empfiehlt sich, vor dem Ableiten die einschlägigen Logarithmusregeln anzuwenden.

Hier [mm]\log_b\left(a^m\right)=m\cdot{}\log_b(a)[/mm]

Also [mm]\ln\left(x^{xy}\right)=xy\ln(x)[/mm]

Das macht das Ableiten doch wesentlich einfacher ...

>  Ich habe folgende Rechnung durchgeführt:
>  
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] = [mm]\bruch {1}{x^{xy}}[/mm] * [mm]xy*x^{(xy-1)}[/mm] [notok]

Es steht doch die Variable, nach der du ableitest auch im Exponenten, da kannst du die Potenzregel vergessen!


Wie leitet man [mm]x^x[/mm] nach [mm]x[/mm] ab?

Man schreibt es um in [mm]x^x=e^{\ln\left(x^x\right)}=e^{x\ln(x)}[/mm] und benutzt die Kettenregel.

> = [mm]\bruch {1}{x^{xy}}[/mm] * [mm]xy*x^{xy}*x^{-1}[/mm]
>  = [mm]\bruch {1}{x^{xy}}[/mm] * [mm]\bruch {xy*x^{xy}}{x}[/mm]
>  = [mm]\bruch {xy*x^{xy}}{x*x^{xy}}[/mm]
>  
> = y
>  
> Irgendwie erscheint es mir aber merkwürdig, dass nur y
> übrig bleibt, denn so wäre die Ableitung zweiter Ordnung
> ja einfach [mm]\bruch {\delta f}{\delta x \delta y}[/mm] = 0

Du musst nochmal nachrechnen, welche Variante von z du dabei nimmst, ist dir überlassen ...

Mit vorheriger Anwendung der Loggsetze geht's ratz fatz ...


>  
> Wäre gut, wenn mir jemand bis Donnerstagabend helfen
> könnte.
>  
> Gruss,
>  
> Bellona
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Part. Abl. Logarithmusfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Mo 11.04.2011
Autor: Bellona

Danke für die rasche Antwort.
Ableitungsregeln für den Logarithmus habe ich mir angeschaut gehabt, die waren bei mir nämlich schon leicht eingerostet, allerdings bin ich von der Verkettung einer Funktion mit der Logarithmusfunktion ausgegangen und habe so gerechnet:

f(x) = ln(g(x))
f'(x) = [mm] \bruch [/mm] {1}{g(x)} * g'(x).

Ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen und daher versäumt die Logarithmusfunktion zu vereinfachen. >.<
Und mit [mm] x^{x} [/mm] hatte ich auch Probleme, hatte ich noch nie gerechnet, danke für die Erklärung. :)

Mit z = xy * ln (x) gehts wirklich wesentlich einfacher, mein Ergebnis ist da jetzt:

[mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] = y * ln (x) + xy * [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
= y * ln (x) + xy

Bezug
                        
Bezug
Part. Abl. Logarithmusfunktion: falsch zusammengefasst
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mo 11.04.2011
Autor: Loddar

Hallo Bellona!


> Mit z = xy * ln (x) gehts wirklich wesentlich einfacher,
> mein Ergebnis ist da jetzt:
>  
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] = y * ln (x) + xy * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]

[ok] Soweit richtig.


>  = y * ln (x) + xy

Hier stimmt der letzte Term nicht: das $x_$ ist zuviel.


Gruß
Loddar


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Bezug
Part. Abl. Logarithmusfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Mo 11.04.2011
Autor: Bellona

Ja klar, ich hatte es auf meinem Schmierblatt auch richtig, nur falsch abgeschrieben. :)

Bezug
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