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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:45 Mi 20.10.2010 | | Autor: | LadyGia |
| Aufgabe 1 | Funktion: [mm] x_{j} [/mm] = ( [mm] v_{1j} [/mm] , [mm] v_{2j} [/mm] )
Partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach [mm] v_{1j} [/mm] und [mm] v_{2j}:
[/mm]
[mm] \bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{1j}} [/mm] : = [mm] x_{v1} [/mm] > 0
[mm] \bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{2j}} [/mm] : = [mm] x_{v2} [/mm] > 0 |
| Aufgabe 2 | Totales Differenzial:
{f(x,y) } : df = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] dx + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] dy
Produktionsfunktion total differenziert :
dx = [mm] dv_{1j} [/mm] * [mm] x_{v1} [/mm] + [mm] dv_{2j} [/mm] * [mm] x_{v2} [/mm] |
ich hoffe jemand mit WiWi Background oder jemand für den das Ganze auch so schon Sinn ergibt kann mir helfen :)
Partielle Ableitung kenne ich aus der Schule nicht, habe aber im inet etwas dazu gefunden, recht einfach erklärt, so dass ich das Prinzip auf eine "normale" Funktion angewendet nachvollziehen kann.
Mein Problem sind höchstwahrscheinlich (ich bin mir leider selber nicht sicher) die vielen Variablen und vor allem die Brüche. Ich bin es mehrmals Stück für Stück durchgegangen, doch ich verstehe nicht gänzlich, voraus sich die Partiellen Ableitungen ergeben (die Produktionsfunktion ist mir noch nicht bekannt) und erst recht nicht wie das Totale Differenzial zustande kommt.
Kann mir jemand die Produktionsfunktion nennen und die Ableitung erläutern?
wofür genau steht "d" in "Aufgabe 2"?
Wäre hocherfreut über einfache Beispiele mit einfachen Zahlen welche die Variablen verdeutlichen, oder eine "Übersetzung" in einen einfacheren Buchstabensalat, sodass ich die Vorgänge nachvollziehen kann :)
Danke im Vorraus
>Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.<
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Do 28.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo LadyGia,
> Funktion: [mm]x_{j}[/mm] = ( [mm]v_{1j}[/mm] , [mm]v_{2j}[/mm] )
> Partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach [mm]v_{1j}[/mm]
> und [mm]v_{2j}:[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{1j}}[/mm] : = [mm]x_{v1}[/mm] > 0
> [mm]\bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{2j}}[/mm] : = [mm]x_{v2}[/mm] > 0
> Totales Differenzial:
>
> {f(x,y) } : df = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] dx +
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] dy
>
> Produktionsfunktion total differenziert :
>
> dx = [mm]dv_{1j}[/mm] * [mm]x_{v1}[/mm] + [mm]dv_{2j}[/mm] * [mm]x_{v2}[/mm]
> ich hoffe jemand mit WiWi Background oder jemand für den
> das Ganze auch so schon Sinn ergibt kann mir helfen :)
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> Partielle Ableitung kenne ich aus der Schule nicht, habe
> aber im inet etwas dazu gefunden, recht einfach erklärt,
> so dass ich das Prinzip auf eine "normale" Funktion
> angewendet nachvollziehen kann.
> Mein Problem sind höchstwahrscheinlich (ich bin mir leider
> selber nicht sicher) die vielen Variablen und vor allem die
> Brüche. Ich bin es mehrmals Stück für Stück
> durchgegangen, doch ich verstehe nicht gänzlich, voraus
> sich die Partiellen Ableitungen ergeben (die
> Produktionsfunktion ist mir noch nicht bekannt) und erst
> recht nicht wie das Totale Differenzial zustande kommt.
> Kann mir jemand die Produktionsfunktion nennen und die
> Ableitung erläutern?
> wofür genau steht "d" in "Aufgabe 2"?
> Wäre hocherfreut über einfache Beispiele mit einfachen
> Zahlen welche die Variablen verdeutlichen, oder eine
> "Übersetzung" in einen einfacheren Buchstabensalat, sodass
> ich die Vorgänge nachvollziehen kann :)
>
> Danke im Vorraus
>
>
> >Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.<
Nehmen wir als Beispiel für eine Produktionsfunktion folgende ![[]](/images/popup.gif) Cobb-Douglas-Produktionsfunktion: [mm] $x_j [/mm] = [mm] K^a [/mm] * [mm] L^b$, [/mm] wobei [mm] $x_j$ [/mm] die produzierte Menge des Produkts j ist, K der Kapitalstock und L die dazu eingesetzte Arbeit; a und b partielle Produktionselastizitäten (was sich erstmal erschreckend anhört, aber man einfach Zahlen mit $0 < a < 1$, $0 < b < 1$ und manchmal noch a + b = 1 annehmen kann).
Deine Produktionsfunktion könnte mit [mm] $v_{1j} [/mm] := K$ und [mm] $v_{2j} [/mm] := L$ so aussehen: [mm] $x_j [/mm] = [mm] v_{1j}^a [/mm] * [mm] v_{2j}^b$.
[/mm]
Für die Partielle Ableitungen gibt es verschiedene Schreibweisen: [mm] $\bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{1j}}$, $\partial_{v_{1j}} x_{j}$, $x_{j}_{v_{1j}}$. [/mm]
Hier wird die erste verwendet. Es geht dabei nicht um Brüche, sondern ist nur die Schreibweise für die Partielle Ableitung der Produktionsfunktion [mm] $x_j$ [/mm] nach [mm]v_{1j}[/mm], dabei wird [mm] $x_j$ [/mm] nach [mm]v_{1j}[/mm] abgeleitet mit der  Potenzregel und dabei [mm]v_{2j}[/mm] als Konstante behandelt.
[mm] $\bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{1j}}$ [/mm] = [mm] $a*v_{1j}^{a-1}*v_{2j}^b$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{2j}}$ [/mm] = [mm] $v_{1j}^a*b*v_{2j}^{b-1}$
[/mm]
Das Totale Differential der Funktion [mm] $x_j$ [/mm] ist [mm] $dx_j$ [/mm] = [mm] $\bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{1j}}d v_{1j}$ [/mm] + [mm] $\bruch{\partial x_{j}}{\partial v_{2j}}d v_{2j}$ [/mm] = [mm] $a*v_{1j}^{a-1}*v_{2j}^b dv_{1j}$ [/mm] + [mm] $v_{1j}^a*b*v_{2j}^{b-1} dv_{2j}$.
[/mm]
Dabei sind [mm] $dv_{1j}$ [/mm] und [mm] $dv_{2j}$[/mm] Differentialformen (genauer 1-Formen). Darum brauchst Du Dich aber noch nicht zu kümmern, nimm es einfach als Schreibweise.
Ich hoffe, ich konnte einige Schneisen durch das Dickicht des Buchstabensalates Schlagen.
Gruß
meili
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