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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Partialbruchentw. Cotangens
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Partialbruchentw. Cotangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Mi 21.01.2009
Autor: MacMath

Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]

Wir sollen diese Aussage mit der Partialbruchentwicklung des Cotangens zeigen.

Ich "sehe" ansatzweise wohin ich möchte, komme aber nicht wirklich weiter.

Ich habe durch
[mm]\left(\pi cot(\pi z)\right)^2=\left(\bruch{\pi cos(\pi z)}{sin(\pi z)} \right)^2=\left( \bruch{\pi}{sin(\pi z)} \right)^2*{cos^2(\pi z)[/mm]

etwas Ählichkeit erzeugt, aber komme mit Umformen nicht weiter, mein größtes Problem ist das Quadrat.

Gruß Daniel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Partialbruchentw. Cotangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Mi 21.01.2009
Autor: fred97

Wenn ich Dich richtig verstanden habe, darfst Du die Partialbruchzerlegung von Kotangens verwenden.

Diese lautet:


$ [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) $


für z $ [mm] \in \IC [/mm] $ \  $ [mm] \IZ [/mm] $


Wenn Du nun


     $(cot z)' = -(sin [mm] z)^{-2}$ [/mm]

beachtest, erhälst Du das Gewünschte.


FRED

Bezug
                
Bezug
Partialbruchentw. Cotangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Mi 21.01.2009
Autor: MacMath


>
> [mm]\pi cot(\pi z) = \bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} )[/mm]

>

>
> für z [mm]\in \IC[/mm] \  [mm]\IZ[/mm]

>

Ja, nach etwas umformen stimmt das mit unserem Script überein    

>
> Wenn Du nun
>
>
> [mm](cot z)' = -(sin z)^{-2}[/mm]
>  
> beachtest, erhälst Du das Gewünschte.

Tut mir leid ich versteh nicht ganz was mir die Ableitung hier bringt. Mein Problem bestand ja darin, dass ich ein Quadrat habe, und wenn ich dort die Summe einsetze kommt ein sehr umständlicher Term heraus der nicht danach aussieht als würde er was bringen.

>  
>
> FRED


Bezug
                        
Bezug
Partialbruchentw. Cotangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Mi 21.01.2009
Autor: fred97

Es gilt:

[mm] (\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2 [/mm] =
$( [mm] \pi cot(\pi [/mm] z))' = [mm] (\bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ))' $

und

[mm] $(\bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ))' $

erhälst Du durch gliedweise Differentiation (wegen der lokal gleichmäßigen Konvergenz)

FRED

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchentw. Cotangens: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Do 22.01.2009
Autor: MacMath


> Es gilt:
>  
> [mm](\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2[/mm] =
> [mm]( \pi cot(\pi z))' = (\bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} ))'[/mm]
>

ich komme auf

[mm]-(\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2[/mm] =
[mm]( \pi cot(\pi z))'[/mm] kann das sein?

Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchentw. Cotangens: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Do 22.01.2009
Autor: MathePower

Hallo MacMath,

> > Es gilt:
>  >  
> > [mm](\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2[/mm] =
> > [mm]( \pi cot(\pi z))' = (\bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} ))'[/mm]
> >
>
> ich komme auf
>  
> [mm]-(\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2[/mm] =
> [mm]( \pi cot(\pi z))'[/mm] kann das sein?  


Ja, das hab ich auch heraus.


Gruß
MathePower

Bezug
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