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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}{}\bruch{x^2+1}{x(x-1)^2} [/mm] dx |
Hallo,
habe die Aufgabe folgendermaßen versucht zu lösen. Stimmt das so?
[mm] \integral_{}{}\bruch{x^2+1}{x(x-1)^2} [/mm] dx = A/x + (B/x-1)+ [mm] (Cx+D)/(x-1)^2
[/mm]
[mm] X^2= A(x-1)^2+Bx(x-1)+(Cx+D)x
[/mm]
= [mm] x^2(A+B+C)+x(2A-B+D)+A
[/mm]
Aus 1=A+B+C Folgt B=0=C
Aus 0= 2A+B+D folgt D= -2. und A=1
[mm] \integral_{}{}\bruch{x^2+1}{x(x-1)^2} [/mm] dx = [mm] \integral_{}{}( [/mm] 1/x - [mm] 2/(x-1)^2 [/mm] ) dx
[mm] =log|x|-2log|x-1|^2+ [/mm] C
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mi 26.03.2014 | | Autor: | chrisno |
>
> [mm]\integral_{}{}\bruch{x^2+1}{x(x-1)^2}[/mm] dx = A/x + (B/x-1)+
> [mm](Cx+D)/(x-1)^2[/mm]
Das ist auf jeden Fall schon mal falsch aufgeschrieben. Du willst nur den Integranden umformen. Was genau da steht, ist nicht klar, ich lass es soweit wie möglich stehen, wie Du es geschrieben hast. Ich nehme an, dass Du das dann hinbekommst.
[mm] $\bruch{x^2+1}{x(x-1)^2} [/mm] = $A/x + (B/x-1)+ [mm](Cx+D)/(x-1)^2[/mm]
>
Das wäre ja nun nett, mindestens ein Wort zu schreiben, was Du machst.
> [mm]X^2= A(x-1)^2+Bx(x-1)+(Cx+D)x[/mm]
Der Anfang sieht merkwürdig aus. Naja, Du wirst das x aus Versehen groß geschrieben haben. Wo ist die 1 geblieben?
> =
> [mm]x^2(A+B+C)+x(2A-B+D)+A[/mm]
Da ist sie ja wieder. Dafür wundere ich mich über das Voreichen von 2A.
>
> Aus 1=A+B+C Folgt B=0=C
> Aus 0= 2A+B+D folgt D= -2. und A=1
Diese Folgerungen kann ich nicht nachvollziehen. Wieder ist eine Vorzeichenmutation zu beobachten.
>
> [mm]\integral_{}{}\bruch{x^2+1}{x(x-1)^2}[/mm] dx = [mm]\integral_{}{}([/mm]
> 1/x - [mm]2/(x-1)^2[/mm] ) dx
> [mm]=log|x|-2log|x-1|^2+[/mm] C
Der Klassiker: leite Deine "Stammfunktion" ab und schau nach, ob es stimmt.
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Hi,
Ja, du hast recht. Habe die +1 vergessen aufzuschreiben, aber die muss natürlich da stehen. Und vor der 2A muss ein Minuszeichen stehen. Stimmt das dann?
Gruß
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Hallo xx...xx,
> Ja, du hast recht. Habe die +1 vergessen aufzuschreiben,
> aber die muss natürlich da stehen. Und vor der 2A muss ein
> Minuszeichen stehen. Stimmt das dann?
> Gruß
Nein, Dein Ansatz ist falsch.
Bestimme A,B,C so, dass
[mm] \bruch{x^2+1}{x(x-1)^2}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{(x-1)^2}
[/mm]
ist. Schau wegen des Ansatzes nochmal ins Skript bzw. Deine Mitschrift.
Grüße
reverend
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Hallo,
stimmt, da muss nur C stehen. Das heißt dann, dass folgendes gilt:
[mm] x^2+1= A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx
[/mm]
...
Aus 1=A+B folgt B=0
Aus 0=-2A+B+C folgt C=2
1=A
Das Ergebnis ist dann aber gleich. Richtig?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mi 26.03.2014 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
>
> stimmt, da muss nur C stehen. Das heißt dann, dass
> folgendes gilt:
> [mm]x^2+1= A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx[/mm]
Es wird besser, aber das Folgende...
Zuerst hast Du A = 1 aus dem Koeffizientenvergleich.
> ...
Mit A = 1 gilt dann:
> Aus 1=A+B folgt B=0
> Aus 0=-2A+B+C folgt C=2
> 1=A
>
> Das Ergebnis ist dann aber gleich. Richtig?
Beantworte die Frage selbst. C hat inzwischen das Vorzeichen gewechselt. Außerdem fehlt immer noch Deine Probe. Leite Dein Ergebnis ab.
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Hallo,
Ok, das Ergebnis bleibt nicht gleich, es gibt einen VZW bei C, ein Minuszeichen muss davor.
Die Probe ist doch dann einfach das mit dem integrieren oder nicht?
[mm] \integral_{}{}(x^2)+1/x(x-1)^2= \integral_{}{}(1/x+2/(x-1)^2)dx
[/mm]
[mm] =log|x|+2log|x-1|^2+C [/mm]
Gruß
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Hallo,
ja, du hast Recht, ich kann das hier nicht so gut abtippen. Das Ergebnis wäre dann
=log|x|+ 2log(2*|x-1|) ?
Wenn ich nun log(x) ableite kommt 1/x raus und, wenn ich das andere ableite, kommt auch das richtige raus eigentlich oder nicht?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 27.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo xxela89xx!
Nein, Deine Stammfunktion stimmt immer noch nicht. Ich hatte Dich doch für das 2. Teilintegral auf die  Potenzregel hingewiesen.
Was ist die Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{z^2} [/mm] \ = \ [mm] z^{-2}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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Hallo,
die Stammfunktion dazu ist doch [mm] \bruch{-1}{1} z^{-1}, [/mm] also [mm] -z^{-1}.
[/mm]
Und bei der Aufgabe ist es dann, [mm] -2(x-1)^{-1}= -\bruch{2}{(x-1)}, [/mm] d.h. -2log|x-1| oder?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Do 27.03.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Hallo,
keine Ahnung, ich dachte, das muss man noch mal so aufschreiben, total verpeilt. Vielen Dank für deine Mühe und danke an alle anderen.
Gruß
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
