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| Aufgabe | | Zerlegen sie: [mm] f(x) = \bruch{2x} {(x-1)(x+2)^3} [/mm] in Partialbrüche. |
Ich habe als Annahme aufgestellt:
[mm] \bruch{2x}{(x-1)(x+2)^3} = \bruch{A}{(x-1)} + \bruch{B}{(x+2)} +\bruch{C}{(x+2)} +\bruch{D}{(x+2)} [/mm]
ist diese Annahme korrekt oder müsste sie anders aussehen?
MfG Witch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo
Leider nicht ganz richtig, sie muss lauten:
[mm] \bruch{2x}{(x-1)(x+2)^3} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x+2)} +\bruch{C}{(x+2^)^2} +\bruch{D}{(x+2)^3}
[/mm]
Gruß
Dester
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Also wäre dann der nächste Schritt (wenn ich das richtig verstanden habe):
[mm]\bruch{2x}{(x-1)(x+2)^3} = A\*(x+2)\*(x+2)^2\*(x+2)^3 + B\*(x-1)\*(x+2)^2\*(x+2)^3 + C\*(x-1)\*(x+2)\*(x+2)^3 + D\*(x-1)\*(x+2)\*(x+2)^2 [/mm]
Ist das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Hi!
Du musst einfach die Gleichung mit [mm] (x-1)*(x+2)^2 [/mm] durchmultiplizieren und erhälst:
2x= [mm] A*(x+2)^3 [/mm] + [mm] B*(x-1)*(x+2)^2+C*(x-1)*(x-2)+D*(x-1)
[/mm]
Danach die Terme nach [mm] x^0, x^1, x^2, x^3 [/mm] ordnen und durch Koeffizientenvergleich erhälst du die 4 Bedingungen.
Auf das A und D kommst du allerdings etwas schneller, hast du selber eine Idee wie?
Gruß
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 29.10.2006 | | Autor: | Witch1986 |
Also ehrlich gesagt habe ich NOCH keine Idee aber ich werde es mal versuchen ich denke mal irgendwei finde ich die Möglichkeit!
Habe aber mal eine Frage: warum muss ich das mit [mm] (x-1)(x+2)^2[/mm] auflösen wenn ich doch auf der linken seite auf [mm]2x[/mm] kommen möchte dann muss ich doch mit [mm](x-1)(x+2)^3[/mm] auflösen oder etwa nicht?
Bis hierher erstmal danke wenn ich auf garkein Ergebniss komme was mir gefällt denke ich das ich mich wieder melde!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Oh, entschuldige -
die Gleichung die dort steht wurde natürlich mit [mm] (x-1)*(x+2)^3 [/mm] multipliziert - sonst wär's ja Unsinn!
Gut, dann melde dich, solltest du nicht weiterkommen...
Grüße
Dester
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Wäre es denn jetz auch möglich bei der entstanden Gleichung einfach die Klammern aufzulösen die Koeffizientenmatrix aufzuschreiben und das LGS zu Lösen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Ja, das wäre eine Möglichkeit...
Zur Kontrolle: A= [mm] \bruch{2}{27} [/mm] B=- [mm] \bruch{2}{27} [/mm] C= - [mm] \bruch{2}{9} [/mm] D= [mm] \bruch{4}{3} [/mm]
Gruß
DesterX
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Nach dem ich den G. Alg. angewendet habe steht bei mir folgendes da:
[mm]\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\
6 & 1 & 1 & 0 & | & 0 \\
12 & 2 & 1 & 1 & | & 2 \\
8 & -4 & -2 & -1 & |& 0\\
--&--&--&--&|&--\\
0 & -5 &1 & 0 & | & 0\\
0 & -10 & 1 & 1 & | & 2\\
0 & -12 & -2 & -2 & | & 0\\
--&--&--&--&|&--\\
0&0&-1&1&|&2\\
0&0&-\bruch{22}{5} & -2&|&0\\
--&--&--&--&|&--\\
0&0&0&\bruch{12}{5} &|&\bruch{44}{5}
\end{vmatrix}
[/mm]
Also das habe ich raus aber wie geht es jetz weiter?
also es müsste ja [mm] D= \bruch{44}{12}[/mm]
Aber das haut ja mit den ergebnissen nicht hin!
wo ist mein Fehler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo!
Das LGS ist falsch, dir muss der Fehler beim Klammernauflösen unterlaufen sein - hab es grad nochmal alles ausgerechnet, richtig sollte es lauten:
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 3 & 1 & 0 \\ 12 & 0 & 1 & 1 \\ 8 & -4 & -2 & -1 }
[/mm]
Und nun löse, wie du es auch schon richtig gemacht hast, Ax=b mit [mm] b=\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 0} [/mm] nach x und du erhälst die korrekte Lösung.
Gruß
Dester
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Nochmal ne Frage ich habe mein LGS jetz durch zig verschiedene Applets gejagt und ich bekomme immer wieder das selbe Ergbniss:
[mm] A = 2/27 [/mm]
[mm] B = -2/27 [/mm]
[mm] C = -10/27 [/mm]
[mm] D = 44/27 [/mm]
A und B stimmen mit den oben genannten Ergebnissen zum vergleich überein aber C und D weichen föllig ab woran liegt das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Witch1986 |
LGS / Gauß. Eliminierungsverfahren
Schritt 1.
[mm]
\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
- & - & - & - & | & - \\
1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\
6 & 3 & 1 & 0 & | & 0 \\
12 & 0 & 1 &1 & | & 2 \\
8 & -4 & -2 & -1 & | & 0
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
Schritt 2.
[mm]
\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
- & - & - & - & | & - \\
1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & -3 & 1 & 0 & | & 0 \\
0 & -12 & 1 &1 & | & 2 \\
0 & -12 & -2 & -1 & | & 0
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]
\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
- & - & - & - & | & - \\
1 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & - \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\
0 & -12 & 1 &1 & | & 2 \\
0 & -12 & -2 & -1 & | & 0
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]
\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
- & - & - & - & | & - \\
1 & 0 & \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & - \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & -3 & 1 & | & 2 \\
0 & 0 & -6 & -1 & | & 0
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]
\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
- & - & - & - & | & - \\
1 & 0 & \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\
0 & 1 & - \bruch{1}{3} & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & -1 & - \bruch{1}{3} & | & - \bruch{2}{3} \\
0 & 0 & -6 & -1 & | & 0
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]
\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
- & - & - & - & | & - \\
1 & 0 & 0 & \bruch{1}{9} & | & \bruch{2}{9} \\
0 & 1 & 0 & - \bruch{1}{9} & | & - \bruch{2}{9} \\
0 & 0 & 1 & - \bruch{1}{3} & | & - \bruch{2}{3} \\
0 & 0 & 0 & -3 & | & -4
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]
\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
- & - & - & - & | & - \\
1 & 0 & 0 & \bruch{1}{9} & | & \bruch{2}{9} \\
0 & 1 & 0 & - \bruch{1}{9} & | & - \bruch{2}{9} \\
0 & 0 & 1 & - \bruch{1}{3} & | & - \bruch{2}{3} \\
0 & 0 & 0 & 1 & | & \bruch{4}{3}
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]
\begin{vmatrix}
A & B & C & D & | & Abs \\
- & - & - & - & | & - \\
1 & 0 & 0 & 0 & | & \bruch{2}{27} \\
0 & 1 & 0 & 0 & | & - \bruch{2}{27} \\
0 & 0 & 1 & 0 & | & - \bruch{2}{9} \\
0 & 0 & 0 & 1 & | & \bruch{4}{3}
\end{vmatrix}
[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]A = \bruch{2}{27}[/mm]
[mm]B = - \bruch{2}{27}[/mm]
[mm]C = - \bruch{2}{9}[/mm]
[mm]D = \bruch{4}{3}[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm]
[mm]\bruch{2x}{(x-1)(x+2)^3}= \bruch{\bruch{2}{27}}{x-1} + \bruch{- \bruch{2}{27}}{x+2} + \bruch{- \bruch{2}{9}}{(x+2)^2} + \bruch{\bruch{4}{3}}{(x+2)^3}[/mm]
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Hi, Witch,
diese Lösungen sind - wie Du selbst mittlerweile erkannt hast - falsch.
Du hast aber vielleicht auch was Anderes erkannt, nämlich dass diese Methode SEEEHR rechenfehlerträchtig und daher kaum empfehlenswert ist!
DesterX hatte ja schon drauf hingewiesen, dass es einen kürzeren Lösungsweg gibt und zwar folgenden:
Zurück zur Ausgangsgleichung:
2x = [mm] A(x+2)^{3} [/mm] + [mm] B((x-1)(x+2)^{2} [/mm] + C(x-1)(x+2) + D(x-1) (***)
Diese Gleichung gilt FÜR ALLE x [mm] \in \IR,
[/mm]
also z.B. für x=1.
Setze also x=1 in (***) ein und Du kriegst:
2 = [mm] A*3^{3} [/mm] <=> A = [mm] \bruch{2}{27}
[/mm]
Dann setze x=-2 in (***) und Du kriegst:
-4 = D*(-3) <=> D = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Damit hast Du schon mal zwei Deiner 4 Konstanten.
Die beiden anderen gehen zwar nicht ganz so schnell, aber sind z.B. mit x=0 und x=-1 auch nicht allzu aufwändig zu ermitteln, denn Du hast ja nurmehr ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten (B, C) zu lösen.
Klar, dass jetzt Rechenfehler kaum noch auftreten!
mfG!
Zwerglein
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Ähm mal ne Frage:
Ich bin jetz auf die Lösungen gekommen wie in meiner eigenen Antwort "Hab jetzt das Richte LGS"
stimmen diese Lösungen? Also stimmen die Lösungen die DexterX gepostet hatte weil diese habe ich jetz ja auch ermittelt bekommen über mein Verfahren auch wenns aufwendig war!!!
Bitte kann mir das jemand beantworten?
Weil A & D Stimmen auf jeden Fall
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 03.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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