Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 28.03.2007 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, im Fall b) nach Zurückführen auf eine rationale Funktion, mit Partialbruchzerlegung:
a) [mm] \integral_{ }^{ }{ \bruch{1}{(x+1)(x+2)²(x+3)³} / dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{ }^{ }{ \bruch{3e^{x}-e^{-x}+4}{e^{x}-e^{-x}+2} dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{ }^{ }{ \bruch{x}{x³-1}dx} [/mm] |
hallöle, ich hab mir jetz schon im inet ne menge seiten durchgelesen, aber irgendwie versteh ich das prinzip der Partialbruchzerlegung nich. zb bei c) hab ich x³-1 ind (-x+1)(-x²-x-1) zerlegt aber ich sehe nicht was ich davon hab... kann mir das jemand erklären?
liebe grüße
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Hallo sorry_lb,
Also bei der PBZ solltest du alle Nullstellen (auch die komplexen) des Nenners bestimmen und ihn in ein Produkt von Linearfaktoren aufspalten:
ein Tipp zur (c):
Die eine Nullstelle von [mm] x^3-1 [/mm] ist 1 - richtig erkannt, also folgt per Polynomdivision: [mm] (x^3-1):(x-1)=x^2+x+1
[/mm]
Nun hat [mm] x^2+x+1 [/mm] "leider" nur die beiden komplexen Nullstellen [mm] x_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i [/mm] und [mm] x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i
[/mm]
Du kannst also den Bruch [mm] \frac{x}{x^3-1} [/mm] schreiben als [mm] \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}+\frac{C}{x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}
[/mm]
Dann wie üblich die Koeffizienten A,B und C berechnen.
Hoffe, das bringt dich ein Stückl weiter 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mi 28.03.2007 | | Autor: | sorry_lb |
hallo schachuzipus, danke erstmal für die schnelle hilfe.
ok, soweit konnte ich das nachvollziehen (abgesehen davon wie du auf die komplexen Nullstellen kommst, aber das hab ich in der klausur auch versaut, muss ich mir nochma genau zu gemüte führen)
und dann hab ich mit der koeffizientenberechnung angefangen, hab aber auch da wieder mein prüblem mit den komplexen zahlen.
ich habe jetz die drei gleichungen:
1) 0=A+B+C
2) [mm] 1=0,5A-0,5B-\bruch{\wurzel{3}}{2}iB-0,5C+\bruch{\wurzel{3}}{2}iC
[/mm]
3) [mm] 0=\bruch{\wurzel{3}}{4}iA+\bruch{3}{4}A-0,5B+\bruch{\wurzel{3}}{2}iB-0,5C-\bruch{\wurzel{3}}{2}iC
[/mm]
aber durch das komplexe bin ich unfähig die gleichungen zu lösen, kannst du mir da nochma helfen?
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Hallo nochmal,
ich komme irgendwie auf etwas andere Bedingungen für A,B,C ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ach ja, die NS von [mm] x^2+x+1 [/mm] habe ich mit quadrat. Ergänzung bestimmt:
[mm] x^2+x+1=0\gdw (x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+1=0\gdw (x+\frac{1}{2})^2=-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}i^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x+\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i \Rightarrow [/mm] x=....
Zur Berechnung der A,B,C:
[mm] \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}+\frac{C}{x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}
[/mm]
[mm] =\frac{A(x^2+x+1)+B(x-1)(x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)+C(x+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}{x^3-1}
[/mm]
Das mal alles schön ausgerechnet ergibt - ohne Gewähr - folgende Bedingungen:
(1) [mm] x(A-\frac{B}{2}-\frac{C}{2}-B\frac{\sqrt{3}}{2}i+C\frac{\sqrt{3}}{2}i)=x
[/mm]
also [mm] A-\frac{B}{2}-\frac{C}{2}-B\frac{\sqrt{3}}{2}i+C\frac{\sqrt{3}}{2}i=1
[/mm]
(2) [mm] x^2(A+B+C)=0
[/mm]
also A+B+C=0
(3) [mm] A-\frac{B}{2}+B\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{C}{2}-C\frac{\sqrt{3}}{2}i=0
[/mm]
Das sieht alles sehr unschön und nach viel Rechenarbeit aus.
Ich würde ein Programm darauf ansetzen, hast du DERIVE?
Das gibt es als kostenlose Demo im Netz
Ich weiß, das hilft dir nun nicht recht weiter ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , aber ich kann ja mal probieren, das per Programm lösen zu lassen
Wird aber etwas dauern
Trotzdem viel Erfolg weiterhin
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Sa 31.03.2007 | | Autor: | sorry_lb |
alsooo... ich habs immer noch nich kapiert *g
du hast gesagt, dass ich bei der zerlegung in den nennern jeweils [mm] x-x_{0} [/mm] aufschreibe. hm. aaaber: ich hab mir grad folgenden link durchgelesen: http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_07/ma_07_01/ma_07_01_06.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_07/ma_07_01/ma_07_01_15.vscml.html
und jetz versteh ich gar nichts mehr, die haben das im 1. fall ja lediglich zerlegt und nich mit den nullstellen hantiert. beim 2. fall das selbe, nur das mich da irritiert, warum beim letzten bruch Cx +D steht. wo kommt denn jetz das x her? so da hab ich mir die theorie gebastelt, dass das am x² im nenner liegt, aaaaber diese theorie haut dann beim dritten bsp nich hin.
sry vll stell ich mich grad echt dumm an, aber ich versteh das schema noch nich...
kann mir nochma jemand helfen?
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Hi,
Ich hätt' mal wieder eine komplizierte Regel von Derive im Angebot ;), dann kannst du dir ja schon mal die Lösung zu Gemüte führen:
$ [mm] \texttt{If }n>0\texttt{ is odd and }0\le m
$ [mm] \int\bruch{x^m}{bx^n-a}\,\mathrm{d}x\Rightarrow \bruch{1}{n*\left(a^{\bruch{1}{n}}\right)^{n-(m+1)}*\left(b^{\bruch{1}{n}}\right)^{m+1}}*\left(\ln\left(x*b^{\bruch{1}{n}}-a^{\bruch{1}{n}}\right)-\left(-1\right)^{m}*\summe_{k=1}^{\bruch{n-1}{2}}\left(2*\left(\arctan\left(\bruch{\bruch{x*b^{\bruch{1}{n}}}{a^{\bruch{1}{n}}}+\cos\left(\bruch{2k-1}{n}*\pi\right)}{\sin\left(\bruch{2k-1}{n}*\pi\right)}\right)*\sin\left(\bruch{2k-1}{n}*\left(m+1\right)*\pi\right)\right)+\ln\left(x^2*b^{\bruch{2}{n}}+2x*a^{\bruch{1}{n}}*b^{\bruch{1}{n}}*\cos\left(\bruch{2k-1}{n}*\pi\right)+a^{\bruch{2}{n}}\right)*\cos\left(\bruch{2k-1}{n}*\left(m+1\right)*\pi\right)\right)\right)$
[/mm]
Weiß denn niemand, wie sich das herleitet?
Einsetzen und wieder noch zahlreiche Vereinfachungen:
[mm] $\bruch{\sqrt{3}*\arctan\left(\bruch{\sqrt{3}*\left(2x+1\right)}{3}\right)}{3}-\bruch{\ln\left(x^2+x+1\right)}{6}+\bruch{\ln\left(x-1\right)}{3}$
[/mm]
Mehr kann ich leider auch nicht helfen,
Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
also, du kannst immer wenn du eine rationale Funktion integrieren willst nach dem selben Schema vorgehen:
1. Mache eine Polynomdivision, so dass der Zählergrad kleiner als der vom Nenner wird, falls es nicht bereits so ist.
2.Bestimme die Nullstellen vom Nenner und zrlege ihn mithilfe der (evtl. komplexen) Nullstellen in Linearfaktoren.
3. Führe wie in einem der vorherigen Beiträge den Ansatz mit den unbestimmten Koeffizienten A,B,C,... durch.
4. Da die Konstanten konstant sind kann man beliebige (günstige!) x in den Ansatz einsetzten und die Konstanten ausrechnen.
5. Jetzt ist die Funktion in Ausdrücke zerlegt, von denen die Stammfunktion leicht zu ausrechnen ist.
So lässt sich jede rationale Funktion integrieren. In der Aufgabe mit Exponentialfunktion führt die Substitution [mm] u=e^x [/mm] zu einer rationalen Funktion die man nach dem gleichen Schema integrieren kann.
Ich hoffe das hilft dir.
Gruß
Hund
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
