Partialbruchzerlegung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{-2x-3}{x^2-3x} dx} [/mm] |
Hallo,
das oben gegebene Integral soll mit Hilfe von Partialbruchzerlegung integriert werden. Ich habe es über die Koeffizienten gelöst, also:
[mm] \bruch{-2x-3}{x^2-3x}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-3}
[/mm]
Als Lösung bekam ich:
[mm] \bruch{-2x-3}{x^2-3x}=\bruch{1}{x}-\bruch{3}{x-3}
[/mm]
Verrechnet habe ich mich meines Wissens nicht und durch die Aufspaltung ist auch das einzelne integrieren der Brüche möglich.
Meine Frage jetzt: bei unecht gebrochenen rat. Funktionen haben wir die Polynomdivision angewendet. Bsp.:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2x^2+9x+12}{x^2+6x+10} dx}
[/mm]
Als Lösung:
[mm] \bruch{2x^2+9x+12}{x^2+6x+10} [/mm] = [mm] 2+\bruch{-3x-8}{x^2+6x+10}
[/mm]
Weiter haben wir jetzt eine Nullstellen/Faktorzerlegung des Nenners durchgeführt.
1. Wieso wird hier der Nenner untersucht (habe immer gedacht für Nullstellenuntersuchung muss der Zähler genommen werden) und wie wird weiter vorgegangen, wenn keine Nullstellen existieren (wie im Beispiel)???
2. Kann ich bei echt gebrochenen immer mit dem Koeffizienten arbeiten und bei unecht die Polynomdivision anwenden?
Vielen Dank schonmal,
Philipp
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 So 27.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich nehme an, dass ihr die Nullstellen des Nenners untersucht, damit du im Nenner eine Polynomdivison machen kannst, in der Hoffnung, dass sich dann irgendetwas aus dem Nenner herauskürzt.
Ab und zu ist das nämlich so, dass Zähler und Nenner eine gemeinsame Nullstelle haben, und du dann einen Linearfaktor herauskürzen kannst, wodurch dein Bruch dann noch etwas schöner ausschaut. Deshalb bestimmst du die NS des Nenners.
Aber generell ist das so, wie du sagtset: Willst du die Nullstellen deiner Funktion berechnen, musst du die NS des Zählers berechnen.
Und ja, wenn ich eine "unechte" sehen würe, würde ich auch verushcne, Polynomdiv. durchzuführen, und bei den "echten" würde ich dann auch versuchen, Partialbruchzerlegung zu machen, das sind so die beiden"Tricks", die man des öfteren mal anwendet.
Um auf dein Beispiel zurückzukommen:
Du hast richtig gerechnet. Du kannst es dir ja auch ganz einfach selbst "beweisen", indem du die beiden einzelnen Brüche wieder Nennergleich machst, und dann auf einen Bruchstrich schreibst. Dann muss das selbe wieder rauskommen.
Noch ein kleiner Hinweis: Ab und zu schlägt die Part.Bruchzerlegung fehl.
LG
Kroni
|
|
|
|
