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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Biboo |
| Aufgabe | Partialbruchzerlegung ausführen:
Aufgabe: [mm] \bruch{x^{3}-3x^{2}+6x-1}{(x-1)^{2}(x-2)}
[/mm]
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Okay, also mein Problem ist quasi ganz am Ende, ich rechne mal bis dahin vor:
Polynomdivision ergibt:
[mm] 1+\bruch{x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}(x-2)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^{2}}+\bruch{C}{x-2}+1 [/mm] !! (Hab den Fehler gerade noch gesehen...)
Erster Schritt: ... |* (x-2)
setze x=2
=> [mm] \bruch{x^{2}+x+1} {(x-1)^{2}} [/mm] = C = 7
Zweiter Schritt: [mm] ...|*(x-1)^{2}
[/mm]
=> [mm] \bruch{x^{2}+x+1}{x-2} [/mm] = xA-A+B
setze x=1
=> B=-3
Und jetzt kommt mein Problem:
setze x=-1
[mm] \bruch{(-1)^{2}+(-1)+1}{(-1-2)}= [/mm] -2A+B
[mm] \bruch{1}{-3}=-2A-3 |+\bruch{9}{3} [/mm] |:(-2)
A= [mm] \bruch{8}{6}=\bruch{4}{3}
[/mm]
In der Lösung kommt für A allerdings -6 raus. B und C sind richtig, also was mache ich beim letzten Schritt falsch?
Danke im Voraus für eure Hilfe!
Achja, das +1 kann ich mir ja sparen, da es auf beiden Seiten steht und somit ja für das Lösen von A,B und C unbedeutsam ist. Im Ergebnis muss es natürlich stehen ;)
Grüße Biboo
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> Partialbruchzerlegung ausführen:
> Aufgabe: [mm]\bruch{x^{3}-3x^{2}+6x-1}{(x-1)^{2}(x-2)}[/mm]
>
> Okay, also mein Problem ist quasi ganz am Ende, ich rechne
> mal bis dahin vor:
>
> Polynomdivision ergibt:
> [mm]1+\bruch{x^{2}+x+1}{(x-1)^{2}(x-2)}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{(x-1)^{2}}+\bruch{C}{x-2}[/mm]
>
> Erster Schritt: ... |* (x-2)
> setze x=2
>
> => [mm]\bruch{x^{2}+x+1} {(x-1)^{2}}[/mm] = C = 7
Etwas sehr abgekürzte Schreibweise: Du hast natürlich $x=2$ gesetzt.
>
> Zweiter Schritt: [mm]...|*(x-1)^{2}[/mm]
>
> => [mm]\bruch{x^{2}+x+1}{x-2}[/mm] = xA-A+B
Weshalb Du hier zwar $C$ (richtigerweise) gar nicht mehr aufführst, $A$ aber noch immer mitschleppst, ist mir überhaupt nicht klar. $A(x-1)$ ist genauso $0$ wie [mm] $C(x-1)^2/(x-2)$ [/mm] sofern man $x=1$ setzt.
>
> setze x=1
>
> => B=-3
>
> Und jetzt kommt mein Problem:
>
> setze x=-1
Was ist die Idee bei dieser Einsetzung? Du hast von den drei zu bestimmenden Konstanten $A,B,C$ doch bereits zwei bestimmt ($B$ und $C$). Also kannst Du irgend einen Wert für $x$, der nicht gerade $1$ oder $2$ ist, und für $B$ und $C$ die gefundenen Werte einsetzen: ergibt eine Gleichung in der nur noch $A$ auftritt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Biboo |
Ohh nein. Wieder soviel Zeit bei einem kleinen Denkfehler verschwendet. Danke für deine Anwort.
Mein "kluger" Denkfehler: Nullstellen von [mm] (x-1)^{2} [/mm] bei 1 und -1 ... Jetzt versteh ich auch deine Verwirrung bei dem Schritt wo ich das A noch mitschleppe... da bin ich noch von den oben genannten Nullstellen ausgegangen, was hieße dass C bei x=1 und x=-1 raufällt...A aber nicht...
Was so ein kleiner Denkfehler ausmachen kann... ich trink nicht mehr soviel Kaffee *g*
Also danke für deine Hilfe, hab alles gecheckt.
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