Partialbruchzerlegung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:35 Sa 15.11.2008 | | Autor: | martin2 |
| Aufgabe | [mm] f=\bruch{p}{q} [/mm] komplex. rat. Fkt
Grad p < Grad q und Grad q [mm] \ge [/mm] 1
[mm] q(x)=a_{n}(x-\alpha_{1})^{\nu_{1}}...(x-\alpha_{m})^{\nu_{m}}
[/mm]
wobei [mm] \alpha_{1},..,.\alpha_{m} [/mm] verschieden. Dann gilt:
[mm] f(x)=\bruch{a_{1}_{1}}{x-\alpha_{1}}+...+\bruch{a_{1}_{\nu_{1}}}{(x-\alpha_{1})^{\nu_{1}}}+...+\bruch{a_{m}_{1}}{x-\alpha_{m}}+...+\bruch{a_{m}_{\nu_{m}}}{(x-\alpha_{m})^{\nu_{m}}} [/mm] mit [mm] a_{i}_{j} \in \IC [/mm] |
Habe eine Frage bzgl des Beweises aus der Vorlesung bzw. bzgl des Beweises für reell rat. Fkt.
So, nun soll das bewiesen werden per induktion nach Grad q = n
Ist n=1 so ist [mm] f=\bruch{b}{a(x-\alpha)}=\bruch{a_{1}_{1}}{x-\alpha} [/mm] mit [mm] a_{1}_{1}=\bruch{b}{a}
[/mm]
Angenommeen der Satz ist richtig für rat. Fkt [mm] \bruch{P}{Q} [/mm] mit Grad Q < n
Wir setzen
[mm] q(x)=(x-\alpha_{1})^{\nu_{1}}s(x) [/mm] wobei
[mm] s(x)=a_{n}(x-\alpha_{2})^{\nu_{2}}...(x-\alpha{m})^{\nu_{m}}
[/mm]
Es folgt für [mm] a:=\bruch{p(\alpha_{1})}{s(\alpha_{1})}, [/mm] dass [mm] p(\alpha_{1})-a*{s(\alpha_{1})}=0
[/mm]
daraus [mm] \bruch{p(x)}{q(x)} [/mm] - [mm] \bruch{a}{(x-\alpha_{1})^{\nu_{1}}} [/mm] = [mm] \bruch{p(x)-a*s(x)}{(x-\alpha_{1})^{\nu_{1}}*s(x)} [/mm] = [mm] \bruch{(x-\alpha_{1})*r(x)}{(x-\alpha_{1})^{\nu_{1}}*s(x)} [/mm] = [mm] \bruch{r(x)}{(x-\alpha_{1})^{\nu_{1}-1}*s(x)}
[/mm]
daraus folgt dass man die rechte seite nach Ind.annahme in Partialbrüche entwickeln kann..
nun meine frage, dass ich irgendein a
[mm] a:=\bruch{p(\alpha_{1})}{s(\alpha_{1})}, [/mm] dass [mm] p(\alpha_{1})-a*{s(\alpha_{1})}=0
[/mm]
so definieren kann ist mir klar. bringt ja bis dahin auch noch nicht so viel. nur wieso ist dieses a gleich dem a von
[mm] \bruch{a}{(x-\alpha_{1})^{\nu_{1}}}
[/mm]
?? da haperts irgendwie. ich verstehe nicht wieso man aus der def schliessen kann, dass dieses a auch im zähler dieses partialbruchs steht.
vor allem da ich mir nicht ganz vorstellen kann wie die def von a aussieht. über den zähler wird ja erstmal sehr wenig ausgesagt und [mm] s(\alpha_{1}) [/mm] mutet mir auch etwas komisch an.
[mm] s(x)=a_{n}(\alpha_{1}-\alpha_{2})^{\nu_{2}}...(\alpha_{1}-\alpha{m})^{\nu_{m}}
[/mm]
und noch eine frage zum beweis für reell rationale fkt der entsprechend bewiesen werden soll. mein erster gedanke war, zwei fälle zu betrachten, einmal diesen für den fall dass alle nullstellen reell sind und einmal den für den fall, dass es keine reellen nullstellen gibt. beide zusammen ergeben dann den regelfall. weiterhin habe ich aber noch nicht allzu viele ideen. kann mir da vllt jmd einen tipp geben? will keine lösung sondern erstmal einen tipp :)
lg martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 18.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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