Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \bruch{4x^{4}+3x^{2}-x+2}{(x-1)(x+1)^{2}(x^{2}+1)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe ein kleines Problem mit oben angeführter Partialbruchzerlegung. Ich hab jetzt mal faktorisiert:
[mm] \bruch{A}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{Bx+C}{x^{2}+2x+1} [/mm] + [mm] \bruch{Dx+E}{(x^{2}+1)}
[/mm]
das ist zwar nicht das was der TI sagt aber es müsste doch auch so funktionieren. dann hab ich mir durch Koeffizientenvergleich
A=-2
[mm] B=\bruch{5}{3}
[/mm]
C=-6
[mm] D=\bruch{5}{3}
[/mm]
E=2
berechnet.
Und das Ergebnis lautet:
[mm] \bruch{-2}{(x-1)} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{5}{3}x-6}{x^{2}+2x+1} [/mm] + [mm] \bruch{\bruch{5}{3}x+2}{(x^{2}+1)}
[/mm]
Mein Problem ist, dass es natürlich nicht mit dem ergebnis vom TI übereinstimmt. Meine Fragen: Kann man das "faktorisieren" so machen wie ich, oder soll ich mich da doch eher an den TI halten, der in dem Fall eine ziemilch anstrengende Faktorisierung ausgespuckt hat (A-H)? Wenn meine Version geht, wo hab ich mich verrechnet?
Ich wär sehr dankbar für Hilfe!!
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Hallo Wieselwiesel, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich habs nicht nachgerechnet, aber Dein Ansatz ist unvollständig:
> [mm]\bruch{4x^{4}+3x^{2}-x+2}{(x-1)(x+1)^{2}(x^{2}+1)}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Ich habe ein kleines Problem mit oben angeführter
> Partialbruchzerlegung. Ich hab jetzt mal faktorisiert:
>
> [mm]\bruch{A}{(x-1)}[/mm] + [mm]\bruch{Bx+C}{x^{2}+2x+1}[/mm] +
> [mm]\bruch{Dx+E}{(x^{2}+1)}[/mm]
Richtiger Ansatz (editiert) ist:
[mm] \bruch{4x^{4}+3x^{2}-x+2}{(x-1)(x+1)^{2}(x^{2}+1)}=\bruch{A}{(x-1)}+\red{\bruch{B}{(x+1)}+\bruch{C}{(x+1)^2}}+\bruch{Dx+E}{(x^{2}+1)}
[/mm]
Natürlich würde man normalerweise die Variablen fortlaufend benennen, aber das F im roten Term soll nur dazu helfen, dass Du den größten Teil Deiner Rechnung beibehalten kannst. Sollte F Null sein, hätte der Rest Deiner Berechnung weiterhin Bestand, aber auch nur dann. Andernfalls dürfte auch eine Probe nicht stimmen; versuchs mal.
edit: Schön, dass schachuzipus noch wach war. Ich offenbar nicht mehr. Pardon.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> Richtiger Ansatz ist:
>
> [mm]\bruch{4x^{4}+3x^{2}-x+2}{(x-1)(x+1)^{2}(x^{2}+1)}=\bruch{A}{(x-1)}+\red{\bruch{F}{(x+1)}}+\bruch{Bx+C}{(x+1)^2}+\bruch{Dx+E}{(x^{2}+1)}[/mm]
Das stimmt nicht, der Ansatz für eine $k$-fache reelle NST des Nenners [mm] $\frac{a}{(x-x_0)^k}$ [/mm] ist [mm] $\frac{A_1}{x-x_0}+\frac{A_2}{(x-x_0)^2}+...+\frac{A_k}{(x-x_0)^k}$
[/mm]
Hier also [mm] $\bruch{4x^{4}+3x^{2}-x+2}{(x-1)(x+1)^{2}(x^{2}+1)}=\bruch{A}{(x-1)}+\red{\bruch{F}{(x+1)}}+\blue{\bruch{B}{(x+1)^2}}+\bruch{Dx+E}{(x^{2}+1)}$
[/mm]
>
> Natürlich würde man normalerweise die Variablen fortlaufend
> benennen, aber das F im roten Term soll nur dazu helfen,
> dass Du den größten Teil Deiner Rechnung beibehalten
> kannst. Sollte F Null sein, hätte der Rest Deiner
> Berechnung weiterhin Bestand, aber auch nur dann.
> Andernfalls dürfte auch eine Probe nicht stimmen; versuchs
> mal.
>
> Grüße
> reverend
LG
schachuzipus
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Danke für die Antwort!
Ich hab immer gedacht, sobald ein quadrat im nenner steht, muss man im Zähler Ax+B schreiben. weil wenn man [mm] (x+1)^{2} [/mm] auflöst, kommt ja [mm] x^{2}+2x+1 [/mm] raus. Und Faktorisieren ist nicht wirklich meine stärke. Aber danke für die auflösung.
Jetzt hab ich gleich mal neu gerechnet, aber ich bekomm dann:
A = [mm] -\bruch{1}{8}
[/mm]
B = [mm] \bruch{13}{8}
[/mm]
C = [mm] \bruch{26}{8}
[/mm]
D = [mm] -\bruch{3}{2}
[/mm]
E = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
und dann:
[mm] \bruch{-\bruch{1}{8}}{x-1}+\bruch{\bruch{13}{8}}{x+1}+\bruch{\bruch{26}{8}}{(x+1)^{2}}+\bruch{-\bruch{3}{2}x-\bruch{1}{2}}{x^{2}+1}
[/mm]
Das stimmt ja auch nicht. Ich glaub ich hab mich beim Gleichungssystem auflösen verrechnet (das ist auch nicht so meine stärke). Gibts da vielleicht einen Trick, wie ich sowas schnell und richtig löse? Kann man das mit Gauß machen?
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Hallo, so ist es, deine Ergebnisse sind nicht korrekt, gehe über den Hauptnenner, mache dann Koeffizientenvergleich, du solltest a=1; b=2, c=-2,5; d=1 und e=-0,5 bekommen, der Gauß-Algorithmus bietet sich für jedes Gleichungssystem an, wenn du mehr als zwei Variablen hast, ![[]](/images/popup.gif) hier kannst du deine Ergebnisse kontrollieren, stelle doch mal bitte dein Gleichungssystem vor, eventuell steckt ja dort schon ein Fehler drin, Steffi
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also so sieht mein Gleichungssystem aus:
[mm] x^{5}: [/mm] A+B+D = 0
[mm] x^{4}: [/mm] 3A +B+C+2D+E = 4
[mm] x^{3}: [/mm] 4A-D+2E = 0
[mm] x^{2}: [/mm] 4A+2C-2D = 3
[mm] x^{1}: [/mm] 3A-B-2E = -1
[mm] x^{0}: [/mm] A-B+C-E = 2
Stimmt das soweit?
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Hallo
[mm] \bruch{4x^{4}+3x^{2}-x+2}{(x-1)(x+1)^{2}(x^{2}+1)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\bruch{C}{(x+1)^{2}}+\bruch{Dx+E}{x^{2}+1}
[/mm]
rechts vom Gleichheitszeichen stehen also 4 Brüche
1. Bruch: Erweitern mit [mm] (x+1)^{2}(x^{2}+1) [/mm] ergibt im Zähler
[mm] A(x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1)
[/mm]
2. Bruch: Erweitern mit [mm] (x-1)(x+1)(x^{2}+1) [/mm] ergibt im Zähler
[mm] B(x^{4}-1)
[/mm]
3. Bruch: Erweitern mit [mm] (x-1)(x^{2}+1) [/mm] ergibt im Zähler
[mm] C(x^{3}-x^{2}+x-1)
[/mm]
4. Bruch: Erweitern mit [mm] (x-1)(x+1)^{2} [/mm] ergibt im Zähler
[mm] Dx^{4}+Dx^{3}+Ex^{3}-Dx^{2}+Ex^{2}-Dx-Ex-E
[/mm]
jetzt über den Koeffizientenvergleich erneut das Gleichungssystem aufstellen, woher hast du eigentlich die Gleichung für [mm] x^{5} [/mm] gezaubert?
Steffi
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Oh! jetzt ist es mir klar! ich hab nämlich einfach den ersten bruch auch mit x+1, den zweiten mit [mm] (x+1)^{2} [/mm] und den 3. bruch mit x+1 erweitert, (daher das [mm] x^{5}) [/mm] dabei is das ja durch die faktorisierung nicht nötig weil x+1 ja in [mm] (x+1)^{2} [/mm] enthalten ist.
Vielen vielen dank für die hilfe und die Geduld mit mir!
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Zur Kontrolle:
[mm] (x^4) [/mm] A+B+D=4
[mm] (x^3) [/mm] 2A+C+D+E=0
[mm] (x^2) [/mm] 2A-C-D+E=3
(x) 2A+C-D-E=-1
(1) A-B-C-E=2
...und die Ergebnisse hast Du ja schon.
Grüße
reverend
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