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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Di 18.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Bringen Sie die folgende rationale Funktion in die form (Polynom) + (Summe von Partialbrüchen)
F(x) = [mm] \bruch{x^{10} - x^{9}}{x^{4} - 3x^{3} + 4x^{2} - 6x + 4} [/mm] |
Guten Morgen
Nun, gesagt, getan.. ich habe die Aufgabe gelöst und würde nun gerne mein Resultat korrigieren lassen. Da die Partialbrüche teilweise komplex sind, konnte ich die Lösung nicht plotten um mein Ergebnis zu überprüfen...
1). Ich habe damit angefangen, zu kürzen. [mm] x^{10} [/mm] - [mm] x^{9} [/mm] schreibe ich als [mm] x^{9}(x [/mm] - 1). Glücklicherweise hat der Nenner die Nullstelle x = 1, somit ergibt sich durch Polynomdivision:
[mm] (x^{4} [/mm] - [mm] 3x^{3} [/mm] + [mm] 4x^{2} [/mm] - 6x + 4) : (x - 1) = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] + 2x - 4
Und somit [mm] \bruch{x^{9}(x-1)}{(x-1)(x^{3} - 2x^{2} + 2x - 4)} [/mm] = [mm] \bruch{x^{9}}{x^{3} - 2x^{2} + 2x - 4}
[/mm]
Die erste Vereinfachung wäre somit geschafft. (Die Division ist ohne Rest)
2). Ich berechne den Polynomanteil, wieder durch eine Polynomdivision (und nicht die letzte :S):
[mm] x^{9} [/mm] : [mm] (x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] + 2x - 4) = [mm] x^{6} [/mm] + [mm] 2x^{5} [/mm] + [mm] 2x^{4} [/mm] + [mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 12x^{2} [/mm] + 24x + 40
Diese Polynomdivision geht nicht mehr ohne Rest auf.. Rest: [mm] 80x^{2} [/mm] + 16x + 160
Somit wäre mein Polynomanteil gefunden und ich kann die Partialbruchzerlegung für den Rest berechnen.
3). Der nächste Schritt wäre die Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{80x^{2} + 16x + 160}{x^{3} - 2x^{2} + 2x - 4}
[/mm]
Hier hat der Nenner wiederrum die Nullstelle x = 2. Somit wieder eine Polynomdivision...
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] 2x^{2} [/mm] + 2x - 4 : (x - 2) = [mm] x^{2} [/mm] + 2
Diese Division geht ohne Rest auf.
Es ergibt sich [mm] \bruch{80x^{2} + 16x + 160}{x^{3} - 2x^{2} + 2x - 4} [/mm] = [mm] \bruch{80x^{2} + 16x + 160}{(x - 2)(x^{2} + 2)}
[/mm]
Der Nenner hat nun 3 Nullstellen, nämlich:
[mm] x_{1} [/mm] = 2
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] i\wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] -i\wurzel{2}
[/mm]
Ich mache den Ansatz:
[mm] \bruch{80x^{2} + 16x + 160}{(x - 2)(x^{2} + 2)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x - 2} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x - i\wurzel{2}} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x + i\wurzel{2}}
[/mm]
A: Ich multipliziere alles mit (x - 2) und setze x = 2. Somit bleibt übrig: A = [mm] \bruch{80x^{2} + 16x + 160}{x^{2} + 2} [/mm] = [mm] \bruch{256}{3}
[/mm]
B, C: Ich multipliziere alles mit [mm] (x^{2} [/mm] + 2) und finde mit x = [mm] i\wurzel{2} [/mm] mein B, mit x = [mm] -i\wurzel{2} [/mm] mein C. Bevor ich dies tue, erweitere ich natürlich die Brüche, in denen B und C vorkommen, um den gemeinsamen Nenner [mm] (x^{2} [/mm] + 2) zu haben!
Es ergibt sich: B = [mm] -\bruch{4}{3}(i\wurzel{2} [/mm] + 2); C = [mm] -\bruch{4}{3}(-i\wurzel{2} [/mm] + 2)
Somit sieht meine Summe von Partialbrüchen folgendermassen aus:
[mm] \bruch{80x^{2} + 16x + 160}{(x - 2)(x^{2} + 2)} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{256}{3}}{x - 2} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{4}{3}(i\wurzel{2} + 2}{x - i\wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{4}{3}(-i\wurzel{2} + 2}{x + i\wurzel{2}}
[/mm]
4). Mein Resultat lautet also:
F(x) = [mm] \bruch{x^{10} - x^{9}}{x^{4} - 3x^{3} + 4x^{2} - 6x + 4} [/mm] = [mm] x^{6} [/mm] + [mm] 2x^{5} [/mm] + [mm] 2x^{4} [/mm] + [mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 12x^{2} [/mm] + 24x + 40 + [mm] \bruch{\bruch{256}{3}}{x - 2} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{4}{3}(i\wurzel{2} + 2)}{x - i\wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{4}{3}(-i\wurzel{2} + 2)}{x + i\wurzel{2}}
[/mm]
Danke schonmal ganz herzlich für die Korrektur. Da ich nur die Resultate der Polynomdivision geschrieben habe, ohne den Zwischenrechnungen, kann es wahrscheinlich mühsam werden, es zu korrigieren.. ich weiss aber nicht, wie ich die Zwischenrechnungen übersichlich reintun sollte... :S
Viele Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Di 18.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Amaro,
mit dem Ansatz
[mm] \bruch{80x^2+16x+160}{(x-2)*(x^2+2)}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^2+2}
[/mm]
erhalte ich mit
[mm] A=\bruch{256}{3}
[/mm]
[mm] B=-\bruch{16}{3}
[/mm]
[mm] C=\bruch{16}{3}
[/mm]
keine komplexen Koeffizienten.
Lg
Herby
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 18.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Herby
> Hallo Amaro,
>
> mit dem Ansatz
>
> [mm]\bruch{80x^2+16x+160}{(x-2)*(x^2+2)}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^2+2}[/mm]
>
> erhalte ich mit
>
> [mm]A=\bruch{256}{3}[/mm]
> [mm]B=-\bruch{16}{3}[/mm]
> [mm]C=\bruch{16}{3}[/mm]
>
> keine komplexen Koeffizienten.
>
Danke für deine Überprüfung.
Doch ist dein Ansatz ja Äquivalent mit meinem. Es ist ja erlaubt, da in meinem Fall das konjugierte meiner komplexen Nullstelle ebenfalls Nullstelle ist und um das Rechnen mit komplexen Zahlen zu vermeiden, benutzt man den Ansatz, den du benutzt hast.
Trotzdem müssten wir beim richtigen Rechnen beiderseits die gleichen Lösungen erhalten.
Also habe ich ein Programm geschrieben, welches deine und meine Lösung im Intervall [-100;100] in 0.001 Schritte berechnet und den Betrag der Differenzen an jedem Punkt angibt.. Ergebnis: 0
Somit scheinen beide Lösungen gleich zu sein. Aber danke für deine, ich finde sie eleganter und einfacher handzuhaben.. :)
>
> Lg
> Herby
Lg, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Di 18.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Hallo Herby
>
> > Hallo Amaro,
> >
> > mit dem Ansatz
> >
> >
> [mm]\bruch{80x^2+16x+160}{(x-2)*(x^2+2)}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{Bx+C}{x^2+2}[/mm]
> >
> > erhalte ich mit
> >
> > [mm]A=\bruch{256}{3}[/mm]
> > [mm]B=-\bruch{16}{3}[/mm]
> > [mm]C=\bruch{16}{3}[/mm]
> >
> > keine komplexen Koeffizienten.
> >
>
> Danke für deine Überprüfung.
> Doch ist dein Ansatz ja Äquivalent mit meinem. Es ist ja
> erlaubt, da in meinem Fall das konjugierte meiner komplexen
> Nullstelle ebenfalls Nullstelle ist und um das Rechnen mit
> komplexen Zahlen zu vermeiden, benutzt man den Ansatz, den
> du benutzt hast.
> Trotzdem müssten wir beim richtigen Rechnen beiderseits
> die gleichen Lösungen erhalten.
> Also habe ich ein Programm geschrieben, welches deine und
> meine Lösung im Intervall [-100;100] in 0.001 Schritte
> berechnet und den Betrag der Differenzen an jedem Punkt
> angibt.. Ergebnis: 0
>
> Somit scheinen beide Lösungen gleich zu sein. Aber danke
> für deine, ich finde sie eleganter und einfacher
> handzuhaben.. :)
dafür hättest du aber kein Programm gebräucht 
[mm] \bruch{4(\wurzel{2}i-2)}{3(x+\wurzel{2}i)}-\bruch{4(2+\wurzel{2}i)}{3(x-\wurzel{2}i)}=\bruch{-\red{16}x+\red{16}}{\red{3}(x^2+2)}
[/mm]
Also [mm] B=-\bruch{16}{3} [/mm] und [mm] C=\bruch{16}{3}
[/mm]
Lg
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Di 18.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Du hast ja recht.. aber ich hab heute so viel gerechnet, da war es mir bequemer, mein Computer rechnen zu lassen :D
Dir nochmals herzlichen Dank für deine Hilfe!
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Di 18.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Amaro,
deine Rechnung ist korrekt 
Lg
Herby
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