Partialbruchzerlegung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mo 23.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von
[mm] \bruch{z^3}{z^2+2z+1} [/mm] |
Hallo zusammen,
muss diese Aufgabe lösen aber hab noch nie mit dieser Partialbruchzerlegung gearbeitet und jetzt wollte ich fragen ob ich das bis hierhin richtig gemacht hab und wie ich weiter machen kann:
[mm] \bruch{z^3}{z^2+2z+1}
[/mm]
[mm] z^2+2z+1/ z^3\ [/mm] z-2
[mm] z^3+2z^2+z
[/mm]
[mm] -2z^2-z
[/mm]
[mm] -2z^2-4z-2
[/mm]
3z+2
-> [mm] \bruch{z^3}{z^2+2z+1} [/mm] = z-1+ [mm] \bruch{3z+2}{z^2+2z+1}
[/mm]
[mm] z^2+z-2
[/mm]
mit pq-formel:
[mm] -\bruch{1}{2} \pm \wurzel{2.25}
[/mm]
[mm] x_1= [/mm] 1 [mm] x_2= [/mm] -2
Dh. [mm] x_1,_2 [/mm] sind Nullstellen des Nennerpolynoms
-> [mm] \bruch{3z+2}{z^2+2z+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_1}{(z-1)} [/mm] + [mm] \bruch{a_2}{(z+2)}
[/mm]
okay ist das bis hierhin richtig?
aber was mach ich jetzt?
danke schonmal
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Hallo Peter,
> Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von
> [mm]\bruch{z^3}{z^2+2z+1}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> muss diese Aufgabe lösen aber hab noch nie mit dieser
> Partialbruchzerlegung gearbeitet und jetzt wollte ich
> fragen ob ich das bis hierhin richtig gemacht hab und wie
> ich weiter machen kann:
>
> [mm]\bruch{z^3}{z^2+2z+1}[/mm]
>
> [mm]z^2+2z+1/ z^3\[/mm] z-2
Was steht denn da?
Du musst doch für die Polynomdivision [mm] $z^3:(z^2+2z+1)$ [/mm] rechnen ...
> [mm]z^3+2z^2+z[/mm]
> [mm]-2z^2-z[/mm]
> [mm]-2z^2-4z-2[/mm]
> 3z+2
>
> -> [mm]\bruch{z^3}{z^2+2z+1}[/mm] = z-1+ [mm]\bruch{3z+2}{z^2+2z+1}[/mm]
Ich kann zwar deine Rechnung nicht so ganz nachvollziehen (vllt. weil es so unübersichtlich ist. Der Anfang ist zumindest falsch aufgeschrieben)
Das Ergebnis stimmt aber fast.
Richtig ist [mm] $z^3:(z^2+2z+1)=z-\red{2}+\frac{3z+2}{z^2+2z+1}$
[/mm]
Oben ist im Ansatz noch eine 2 zu erkennen ... verschrieben?
>
> [mm]z^2+z-2[/mm]
Wo kommt dieser Ausdruck her?
> mit pq-formel:
> [mm]-\bruch{1}{2} \pm \wurzel{2.25}[/mm]
> [mm]x_1=[/mm] 1 [mm]x_2=[/mm] -2
> Dh. [mm]x_1,_2[/mm] sind Nullstellen des Nennerpolynoms
Was machst du denn da? Dass in [mm] $z^2+2z+1$ [/mm] die 1. binom. Formel steckt, solltest du aber unbedingt erkennen!
>
> -> [mm]\bruch{3z+2}{z^2+2z+1}[/mm] = [mm]\bruch{a_1}{(z-1)}[/mm] +
> [mm]\bruch{a_2}{(z+2)}[/mm]
>
> okay ist das bis hierhin richtig?
> aber was mach ich jetzt?
Nun, du hattest richtig angefangen und berechnet [mm] $\frac{z^3}{z^2+2z+1}=z-2+\frac{3z+2}{z^2+2z+1}$
[/mm]
Nun musst du für den verbleibenden Bruch eine PBZ machen:
Ansatz: [mm] $\frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}$ [/mm] wegen der doppelten reellen NST ...
Das rechne nun aus ...
>
> danke schonmal
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Di 24.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
Hey danke schonmal für die Antwort,
aber hab trotzdem noch ne Frage
also du hast geschrieben:
[mm] \frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2} [/mm]
ist das richtig, das beim bruch unter B dann [mm] (z+1)^2 [/mm] steht?
muss da nicht einfach nur (z+1) stehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hey danke schonmal für die Antwort,
> aber hab trotzdem noch ne Frage
>
> also du hast geschrieben:
>
> [mm]\frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}[/mm]
>
> ist das richtig, das beim bruch unter B dann [mm](z+1)^2[/mm]
> steht?
Ja
> muss da nicht einfach nur (z+1) stehen?
Nein. $z=-1$ ist eine doppelte Nullstelle des Nenners
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Di 24.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
So okay ich hab das ganze jetzt ab der stelle mal durchgerechnet aber da gibt es ein problem:
also aber der stelle:
[mm] \frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}
[/mm]
[mm] =\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}
[/mm]
[mm] =\frac{a(z+1)^2 +b(z+1)}{(z+1)(z+1)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{az^2+2az+a+bz+b}{(z+1)(z+1)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{az^2+(2a+b)z+(a+b)}{(z+1)^3}
[/mm]
daraus muss man ein lineares Sytem von 3 gleichungen lösen:
a=0 weil es kein [mm] z^2 [/mm] beim rest von (3z+2) gibt
2a+b=3 also b=3
a+b=2 also b=2
hab ich da iwas falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> So okay ich hab das ganze jetzt ab der stelle mal
> durchgerechnet aber da gibt es ein problem:
>
> also aber der stelle:
>
> [mm]\frac{3z+2}{z^2+2z+1}=\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}[/mm]
>
> [mm]=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}[/mm]
> [mm]=\frac{a(z+1)^2 +b(z+1)}{(z+1)(z+1)^2}[/mm]
> =
> [mm]\frac{az^2+2az+a+bz+b}{(z+1)(z+1)^2}[/mm]
> = [mm]\frac{az^2+(2a+b)z+(a+b)}{(z+1)^3}[/mm]
>
> daraus muss man ein lineares Sytem von 3 gleichungen
> lösen:
> a=0 weil es kein [mm]z^2[/mm] beim rest von (3z+2) gibt
> 2a+b=3 also b=3
> a+b=2 also b=2
>
> hab ich da iwas falsch gemacht?
>
>
Du vergleichst Äpfel mit Birnen ! Also [mm] \frac{3z+2}{(z+1)^2} [/mm] mit [mm] \frac{az^2+(2a+b)z+(a+b)}{(z+1)^3}
[/mm]
Schau Dir mal die Nenner an , dann siehst Du es.
Es ist [mm] \frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}= \frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}
[/mm]
Jetzt mach mal einen ordentlichen Koeffizientenvergleich
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Di 24.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
okay dann ab hier nochmal:
[mm] \frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}= \frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}
[/mm]
= [mm] \frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}
[/mm]
koeffizientenvergleich:
3z= za -> a=2z
2= a+b -> 2= 2z+b -> b=2-2z
[mm] \frac{z^3}{z^2+2z+1} [/mm] = z-2 + [mm] \frac{2z}{z+1} [/mm] + [mm] \frac{2-2z}{(z+1)^2}
[/mm]
ist das jetzt wenigstens richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> okay dann ab hier nochmal:
> [mm]\frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{A}{z+1}+\frac{B}{(z+1)^2}= \frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}[/mm]
>
> = [mm]\frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}[/mm]
>
> koeffizientenvergleich:
> 3z= za -> a=2z
>
> 2= a+b -> 2= 2z+b -> b=2-2z
Was machst Du da für einen Unsinn ? Das da oben ist völliger Quatsch.
Wir haben:
$ [mm] \frac{3z+2}{(z+1)^2}=\frac{(z+1)A+B}{(z+1)^2}= \bruch{Az+A+B}{(z+1)^2} [/mm] $
Daraus folgt: A= 3 und A+B = 2
FRED
>
> [mm]\frac{z^3}{z^2+2z+1}[/mm] = z-2 + [mm]\frac{2z}{z+1}[/mm] +
> [mm]\frac{2-2z}{(z+1)^2}[/mm]
>
> ist das jetzt wenigstens richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 24.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
oh man
also hab ich jetzt am ende da stehen
[mm] \frac{z^3}{z^2+2z+1}= [/mm] z-2+ [mm] \frac{3}{z+1}+\frac{-1}{(z+1)^2}
[/mm]
??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Di 24.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo peeetaaa!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Korrekt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Di 24.11.2009 | | Autor: | peeetaaa |
wow danke und sorry dass es so lang gedauert hat bis ichs gerafft hab!!
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