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| Aufgabe | | [mm] \int{\frac{2}{(x^2-x-2)(x^2+x)}}dx [/mm] |
Hab hier ein kleines Problem mit der Partialbruchzerlegung hab es so weit umgeformt:
[mm] \int{\frac{2}{(x^2-x-2)(x^2+x)}}dx [/mm] = [mm] \int{\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x}}dx
[/mm]
[mm] \frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x} [/mm] = [mm] \frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x-2)}+\frac{D}{(x)}
[/mm]
Wenn ich das jetzt üblich "ausmultipliziere" hab ich ein riesen Gleichungssystem und ich hab von einem Komiltionen was von Zuhaltemethode und Reduktionsverfahren gehört. Nur haben wir solche Methoden nicht gezeigt bekommen. Wie geht man da vor?
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Hallo DrNetwork,
> [mm]\int{\frac{2}{(x^2-x-2)(x^2+x)}}dx[/mm]
> Hab hier ein kleines Problem mit der Partialbruchzerlegung
> hab es so weit umgeformt:
>
> [mm]\int{\frac{2}{(x^2-x-2)(x^2+x)}}dx[/mm] =
> [mm]\int{\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x}}dx[/mm]
>
> [mm]\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x}[/mm] =
> [mm]\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x-2)}+\frac{D}{(x)}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt üblich "ausmultipliziere" hab ich ein
> riesen Gleichungssystem und ich hab von einem Komiltionen
> was von Zuhaltemethode und Reduktionsverfahren gehört. Nur
> haben wir solche Methoden nicht gezeigt bekommen. Wie geht
> man da vor?
Dazu bringst Du den Ausdruck
[mm]\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x-2)}+\frac{D}{(x)}[/mm]
auf den Hauptnenner ohne den Zähler auszumultiplizieren.
Um jetzt die verschiedenen Koeffizienten herauszubekommen,
setzt Du die in Frage kommenden x-Werte in den Zähler des
Bruches ein und vergleichst dies dann mit der 2.
Gruss
MathePower
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Genau das meinte ich mit "üblich" nur hab ich von einem schnelleren Weg gehört. Weiss jemand was darüber?
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Hallo DrNetwork,
> Genau das meinte ich mit "üblich" nur hab ich von einem
> schnelleren Weg gehört. Weiss jemand was darüber?
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Zuhaltemethode
Die Partialbruchzerlegung muß doch so lauten:
[mm]\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x} \ = \ \frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{(x-2)}+\frac{D}{(x)} [/mm]
Gruss
MathePower
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> [mm]\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x} \ = \ \frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{(x-2)}+\frac{D}{(x)}[/mm]
So genau das hab ich jetzt auch schon 2mal gesehen und niemand konnte mir erklären wieso das (x-1) dreifach vorkommt also (x-1) und [mm] (x-1)^2 [/mm] das einzige was ich gehört habe das ist so und damit kann ich nichts anfangen. Kannst du mir sagen wieso man das so machen muss?
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> > [mm]\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x} \ = \ \frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{(x-2)}+\frac{D}{(x)}[/mm]
>
> So genau das hab ich jetzt auch schon 2mal gesehen und
> niemand konnte mir erklären wieso das (x-1) dreifach
> vorkommt also (x-1) und [mm](x-1)^2[/mm] das einzige was ich gehört
> habe das ist so und damit kann ich nichts anfangen. Kannst
> du mir sagen wieso man das so machen muss?
Der Grund liegt einfach darin, dass eine derartige
Partialbruchzerlegung mit dem "einfacheren" Ansatz
ohne quadratischen Term im Allgemeinen nicht
funktioniert. Der Ansatz ist dann etwas "zu arm" -
es fehlt ein Parameter. Probier es halt einfach mal
auf beide Arten aus, eventuell mit einem etwas
einfacheren Beispiel wie:
[mm] \frac{x^2+3\,x+3}{(x+1)^2*x}
[/mm]
LG Al-Chw.
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> Der Grund liegt einfach darin, dass eine derartige
> Partialbruchzerlegung mit dem "einfacheren" Ansatz
> ohne quadratischen Term im Allgemeinen nicht
> funktioniert. Der Ansatz ist dann etwas "zu arm" -
> es fehlt ein Parameter. Probier es halt einfach mal
> auf beide Arten aus, eventuell mit einem etwas
> einfacheren Beispiel wie:
Aber so ein richtiger Grund ist das ja jetzt nicht. Da steht im Prinzip wieder "der Grund ist weil es so nicht geht."
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Hallo,
Steht ein Linearfaktor in höherer Potenz, dann sind die Faktoren nach weiterer Partialbruchzerlegung nicht orthogonal zueinander:
[mm] \bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x+1)}:=\bruch{C}{(x+1)^2}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] (A+B)(x+1)=C=x(A+B)+A+B f.A. nach ursprünglichem Kalkül, da A und B wieder ein Bruch mit x+1 im Zähler sein müssen. (x+1) ist jedoch orthogonal zu [mm] (x+1)^2, [/mm] d.h. fast kein [mm] A(x+1)^2 [/mm] ist durch ein reelles Vielfaches von (x+1) auszudrücken (wenn Gültigkeit für alle x vorausgesetzt wird). Somit sind alle enthaltenen orthogonalen Terme alle Potenzen bis zur Ursprünglichen.
Also bei [mm] x^3 [/mm] sind das nach PBZ x, [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^3.
[/mm]
lg
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> > Der Grund liegt einfach darin, dass eine derartige
> > Partialbruchzerlegung mit dem "einfacheren" Ansatz
> > ohne quadratischen Term im Allgemeinen nicht
> > funktioniert. Der Ansatz ist dann etwas "zu arm" -
> > es fehlt ein Parameter. Probier es halt einfach mal
> > auf beide Arten aus, eventuell mit einem etwas
> > einfacheren Beispiel wie:
>
> Aber so ein richtiger Grund ist das ja jetzt nicht. Da
> steht im Prinzip wieder "der Grund ist weil es so nicht
> geht."
Naja, meinetwegen.
Allerdings habe ich aber auch angeregt, auszuprobieren,
warum es mit dem einfachen Ansatz nicht klappen kann.
Wenn du das wirklich tust, bist du einer tieferen Einsicht
wenigstens etwas näher !
LG Al-Chw.
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> [mm]\int{\frac{2}{(x^2-x-2)(x^2+x)}}dx[/mm]
> Hab hier ein kleines Problem mit der Partialbruchzerlegung
> hab es so weit umgeformt:
>
> [mm]\int{\frac{2}{(x^2-x-2)(x^2+x)}}dx[/mm] =
> [mm]\int{\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x}}dx[/mm]
>
> [mm]\frac{2}{(x+1)(x+1)(x-2)x}[/mm] =
> [mm]\frac{A}{(x+1)}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{(x-2)}+\frac{D}{(x)}[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt üblich "ausmultipliziere" hab ich ein
> riesen Gleichungssystem und ich hab von einem Komiltionen
> was von Zuhaltemethode und Reduktionsverfahren gehört. Nur
> haben wir solche Methoden nicht gezeigt bekommen. Wie geht
> man da vor?
Hallo,
in dem Ansatz ist etwas falsch. Einer der Nenner sollte
[mm] (x+1)^2 [/mm] sein. So wie es dasteht, könnte man die ersten
beiden Summanden zu einem vereinigen.
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Do 17.12.2009 | | Autor: | MrAfI |
Hallo zusammen,
Arbeite an der gleichen Aufgabe. Mein Problem liegt darin, dass ich scheinbar keinen Wert für A herausbekomme. B = [mm] \bruch{2}{3}, C=\bruch{1}{9} [/mm] und D=-1 (hoffe ich). Berechnet habe ich die Werte, indem ich diese Zerlegung erstellt habe, und dann alles auf den gleichen Nenner gebracht habe. Dann habe ich im Zähler sowas wie A(x+1)(x-2)(x) stehen und kann daraus für x=-1, x=2 und x=0 die Werte für B,C und D errechnen, da die anderen Produkte dann immer 0 werden.
Meine Vermutung ist, dass doch eigentlich alle Produkte summiert (A*... + B*... + C*... + D*...) gleich 2 sein müssten, oder? Dann würde ich für A [mm] \bruch{20}{9} [/mm] herausbekommen. Kann man das so machen? Bin bisher auf kein gutes Ergebnis gekommen.
Danke ;)
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Hallo MrAfI, ein bisschen nachträglich ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Mal sehen, ob ich Dich richtig verstehe:
> Meine Vermutung ist, dass doch eigentlich alle Produkte
> summiert (A*... + B*... + C*... + D*...) gleich 2 sein
> müssten, oder?
Ich nehme an, du meinst den Zähler, wenn man alles auf einen Hauptnenner bringt, also auf das ursprünglich zerlegte Polynom?
Dann müsste die zu lösende Gleichung wie folgt lauten:
[mm] 2=A(x+1)(x-2)x+B(x-2)x+C(x+1)^2x+D(x+1)^2(x-2)
[/mm]
> Dann würde ich für A [mm]\bruch{20}{9}[/mm]
> herausbekommen. Kann man das so machen? Bin bisher auf kein
> gutes Ergebnis gekommen.
Mach doch einfach mal eine Probe!
Wenn die nicht klappt, dann komm wieder. Im Moment bin ich einfach zu faul, selbst eine Lösung zu errechnen. Dein Weg funktioniert jedenfalls, wenn es der oben genannte ist.
lg
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Sa 19.12.2009 | | Autor: | MrAfI |
Hey,
Danke für deinen Ansatz. Habe damit das schon recht geniale System verstanden, denke ich, und konnte die Aufgabe so lösen.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hi das schaut ja easy aus. Funktioniert das immer oder gibt es da Einschränkungen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 20.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo DrNetwork!
> Hi das schaut ja easy aus. Funktioniert das immer oder gibt
> es da Einschränkungen?
Das klappt m.E. immer ...
Gruß
Loddar
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MatheBank![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
