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| Aufgabe | Zerlegen Sie die folgenden gebrochenrationalen Funktion in Partialbrüche:
[mm] f(x)=\bruch{x^2-1}{x^2-4} [/mm] |
Hallo, ich biete um ein Hinweis was ich bei dieser Aufgabe falsch gemacht habe?
die Lösung soll [mm] 1+\bruch{3}{4(x-2)}-\bruch{3}{4(x+2)} [/mm] sein.
Meine Rechnung:
[mm] f(x)=\bruch{x^2-1}{x^2-4}=\bruch{x^2-1}{(x+2)(x-2)}=\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-2}
[/mm]
dann
[mm] \bruch{x^2-1}{(x+2)(x-2)}=\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-2}
[/mm]
auf den gleichen Nenner gebracht und Multiplikation beider Seiten mit dem Nenner liefert:
[mm] (x^2-1)=\bruch{A(x-2)}{x+2}+\bruch{B(x+2)}{x-2}
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich ergibt dann das Gleichungssystem
1 <- [mm] x^2
[/mm]
A+ B =0 <- x
-2A+2B=-1 <-1
so erhält man mit Gaußschen Algorithmus die unbekannten Konstanten:
[mm] B=-\bruch{1}{4}
[/mm]
A= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
also meine Lösung:
[mm] 1+\bruch{1}{4(x+2)}-\bruch{1}{4(x-2)}
[/mm]
und wieso ist die Lösung:
[mm] 1+\bruch{3}{4(x-2)}-\bruch{3}{4(x+2)}
[/mm]
was habe ich falsch gemacht?Wie kommt man auf die dreien im Zähler in der Lösung?
würde mich über ein Tipp freuen
danke im Vorraus
gruß Alex
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> Zerlegen Sie die folgenden gebrochenrationalen Funktion in
> Partialbrüche:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^2-1}{x^2-4}[/mm]
> Hallo, ich biete um ein Hinweis was ich bei dieser Aufgabe
> falsch gemacht habe?
> die Lösung soll [mm]1+\bruch{3}{4(x-2)}-\bruch{3}{4(x+2)}[/mm]
> sein.
>
> Meine Rechnung:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x^2-1}{x^2-4}=\bruch{x^2-1}{(x+2)(x-2)}=\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-2}[/mm]
>
> dann
> [mm]\bruch{x^2-1}{(x+2)(x-2)}=\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-2}[/mm]
> auf den gleichen Nenner gebracht und Multiplikation beider
> Seiten mit dem Nenner liefert:
> [mm](x^2-1)=\bruch{A(x-2)}{x+2}+\bruch{B(x+2)}{x-2}[/mm]
> Ein Koeffizientenvergleich ergibt dann das
> Gleichungssystem
> 1 <- [mm]x^2[/mm]
Hallo,
wo kommt diese Zeile denn her, und was meinst Du mit ihr?
Einen Koeffizientenvergleich für die Koeffizienten vor [mm] x^2 [/mm] kannst Du doch schlecht machen, denn [mm] x^2 [/mm] kommt ja rechts gar nicht vor.
Des Rätsels Lösung: mach eine Polynomdivision. Du brauchst, daß der Grad des Zählerpolynoms kleiner ist als der des Polynoms im Nenner.
Gruß v. Angela
> A+ B =0 <- x
> -2A+2B=-1 <-1
> so erhält man mit Gaußschen Algorithmus die unbekannten
> Konstanten:
> [mm]B=-\bruch{1}{4}[/mm]
> A= [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> also meine Lösung:
> [mm]1+\bruch{1}{4(x+2)}-\bruch{1}{4(x-2)}[/mm]
> und wieso ist die Lösung:
> [mm]1+\bruch{3}{4(x-2)}-\bruch{3}{4(x+2)}[/mm]
>
> was habe ich falsch gemacht?Wie kommt man auf die dreien im
> Zähler in der Lösung?
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> würde mich über ein Tipp freuen
>
> danke im Vorraus
>
> gruß Alex
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Danke für die schnelle Antwort!
soll ich nur im Zähler die Polynomdivision durchführen oder mit dem ganzen Bruch?
gruß Alex
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Hallo, wie willst du denn nur mit dem Zähler eine Division durchführen, die Division verlangt einen Dividend und einen Divisor, du hast [mm] \bruch{x^{2}-1}{x^{2}-4}, [/mm] beginne mit Polynomdivision
[mm] (x^{2}-1):(x^{2}-4)=1+\bruch{3}{x^{2}-4} [/mm] somit wäre die 1 geklärt, jetzt Partialbruchzerlegung
[mm] \bruch{3}{x^{2}-4}=\bruch{A}{x+2}+\bruch{B}{x-2}
[/mm]
bestimme A und B über den Koeffizientenvergleich
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Sa 26.12.2009 | | Autor: | capablanca |
Danke für die ausführliche Antwort, jetzt ist mir alles klar!
gruß Alex
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