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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

Aufgabe
Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung folgender rationaler Funktion
[mm] $r(x)=\bruch{6x^2+5x-16}{x^3-3x-2}$ [/mm]

[mm] $r(x)=\bruch{x^2-2ix-3}{x^3-ix^2-x+i}$ [/mm]

Leider habe ich gar keinen Ansatz zu dieser Aufgabe und wäre für jedne Tipp dankbar. Wie muss ich da denn was umformen, ich komme nicht so dahinter, weder mit dem was im Skript steht noch mit dem aus wiki.

Vielen dank schonmal.






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Do 14.01.2010
Autor: fencheltee


> Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung folgender
> rationaler Funktion
>  [mm]r(x)=\bruch{6x^2+5x-16}{x^3-3x-2}[/mm]
>  
> [mm]r(x)=\bruch{x^2-2ix-3}{x^3-ix^2-x+i}[/mm]
>  Leider habe ich gar keinen Ansatz zu dieser Aufgabe und
> wäre für jedne Tipp dankbar. Wie muss ich da denn was
> umformen, ich komme nicht so dahinter, weder mit dem was im
> Skript steht noch mit dem aus wiki.
>  
> Vielen dank schonmal.
>  
>
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Wandle zunächst in beiden funktionen die nenner in linearfaktoren um.

ps: Eine geratene Nullstelle für die erste Funktion wäre [mm] x_1=2, [/mm] für die 2. funktion [mm] x_1=1 [/mm]
danach schauen wir mal weiter wie wir den ansatz zusammenbasteln!

gruß tee

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

also bei der ersten bekomme ich als linearfaktor vom Nenner folgendes raus:
[mm] (x-2)(x^2+2x+1) [/mm]

beim 2. weiß ich nicht wie ich das da mit dem i machen soll....

lg

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Do 14.01.2010
Autor: fencheltee


> also bei der ersten bekomme ich als linearfaktor vom Nenner
> folgendes raus:
>  [mm](x-2)(x^2+2x+1)[/mm]

den 2. faktor kannst du noch weiter zerlegen

>  
> beim 2. weiß ich nicht wie ich das da mit dem i machen
> soll....

mit dem hornerschema.. [mm] x_1=1 [/mm] raten, dann [mm] x_2=-1 [/mm] und den letzten faktor findest du dann am ende..
alternativ geht auch 1. stelle raten, dann weiter mit pq-formel

>  
> lg

gruß tee

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

okay, ich glaube das weite lass ich erst mal einfach weg, bin eigentlich schon froh wenn ich das erste raus bekomme....

wenn ich den ersten weiter zerlege komme ich auf
(x-2)(x+4)(x-2) Rest 9

ob das wirklich richtig ist weiß ich leider nicht :-(

lg

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Do 14.01.2010
Autor: Steffi21

Hallo, leider nicht korrekt, du möchtest die Nullstellen von [mm] x^{3}-3x-2, [/mm] du kennst schon x=2, jetzt Polynomdivision, du bekommst [mm] x^{2}+2x+1, [/mm] jetzt gleich Null setzen und die p-q-Formel benutzen, schneller geht es, wenn du eine Binomische Formel benutzt, Steffi

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

ah natürlich, dann komme ich auf:
[mm] $(x+1)^2$ [/mm]

aber wie mache ich nun weiter?

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Do 14.01.2010
Autor: fencheltee


> ah natürlich, dann komme ich auf:
>  [mm](x+1)^2[/mm]
>  
> aber wie mache ich nun weiter?

du hattest als ausgangsfunktion
[mm] r(x)=\bruch{6x^2+5x-16}{x^3-3x-2} [/mm] durch linearfaktorzerlegung ist das gleich
[mm] \bruch{6x^2+5x-16}{(x-2)*(x+1)^2} [/mm] und nun macht man den ansatz dazu:
[mm] \bruch{6x^2+5x-16}{(x-2)*(x+1)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2} [/mm]
nun erstmal mit dem hauptnenner (nenner von der linken seite) alles durchmultiplizieren(und kürzen!)

gruß tee


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Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Do 14.01.2010
Autor: Steffi21

Hallo, kleiner Hinweis, Nenner vom 2. Bruch: x+1, 3. Bruch: [mm] (x+1)^{2} [/mm] Steffi

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Do 14.01.2010
Autor: fencheltee


> Hallo, kleiner Hinweis, Nenner vom 2. Bruch: x+1, 3. Bruch:
> [mm](x+1)^{2}[/mm] Steffi

oh gott, dieses copy-paste wird mich irgendwann noch kopf und kragen kosten :-)

danke für die aufmerksamkeit!

gruß tee

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:17 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

wie meinst du das nun genau? soll ich jetzt im Prinzip z.B. bei A folgendes ausrechnen?
[mm] $(x-2)(x+1)^2(x-2)$ [/mm]
oder was genau soll ich da ausmultiplizieren?

Danke nochmals.... :-)

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Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Do 14.01.2010
Autor: Steffi21

Hallo, rechte Seite den Hauptnenner bestimmen, dann die Brüche entsprechend erweitern, Steffi

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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:31 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

oh gott, hoffentlich stimmt es...naja hier einfach mal meine Lösung auch auf die Gefahr hin mich zu blamieren -.-

[mm] $\bruch{Ax^2+2A+A}{(x-2)(x+1)^2}+\bruch{Bx^2+Bx-2B}{(x-2)(x+1)^2}+\bruch{Cx-2C}{(x-2)(x+1)^2}$ [/mm]


Ich danke euch jetzt schon :-)

lg

Bezug
                                                                                        
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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Do 14.01.2010
Autor: fencheltee


> oh gott, hoffentlich stimmt es...naja hier einfach mal
> meine Lösung auch auf die Gefahr hin mich zu blamieren
> -.-
>  
> [mm]\bruch{Ax^2+2A+A}{(x-2)(x+1)^2}+\bruch{Bx^2+Bx-2B}{(x-2)(x+1)^2}+\bruch{Cx-2C}{(x-2)(x+1)^2}[/mm]
>  
>
> Ich danke euch jetzt schon :-)
>  
> lg

was auch immer hier geschehen ist, richtig wäre der folgende weg:
$ [mm] \bruch{6x^2+5x-16}{(x-2)\cdot{}(x+1)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2} [/mm] $ war ja die ausgangsfunktion (korrigiert, hatte das im 1. post falsch kopiert). nun mit dem hauptnenner multiplizieren (das ist [mm] (x-2)(x+1)^2): [/mm]
[mm] 6x^2+5x-16=A*(x+1)^2+B*(x-2)*(x+1)+C*(x-2) [/mm]
und nun durch geschicktes einsetzen (x=-1; x=2) die Konstanten bestimmen

gruß tee



Bezug
                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

Also für die Konstanten habe ich das hier raus:
A=-27
[mm] B=-31\bruch{1}{2} [/mm]
C=18

ich hab das verdammt gefühl, dass dies auch falsch ist :-(

lg

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Do 14.01.2010
Autor: fencheltee


> Also für die Konstanten habe ich das hier raus:
>  A=-27
>  [mm]B=-31\bruch{1}{2}[/mm]
>  C=18
>  
> ich hab das verdammt gefühl, dass dies auch falsch ist
> :-(
>  
> lg

jap, stimmt nicht einer von.. was hast du denn gerechnet?

gruß tee


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

ja ich habe einfach in:
[mm] $6x^2+5x-16$ [/mm] einmal x=-1 und einmal x=2 eingesetzt. Dadurch bin ich auf A und auf C gekommen.

Bei B habe ich dann x=0 eingesetzt um auf B zu kommen und dadurch bin ich dann auf B=1A-2B-2C und das ganze dann nach B aufgelöst.
Das hat bei mir eben dann -31,5 ergeben.
Das stimmt auch wahrscheinlich nicht....

lg

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Do 14.01.2010
Autor: fencheltee


> ja ich habe einfach in:
>  [mm]6x^2+5x-16[/mm] einmal x=-1 und einmal x=2 eingesetzt. Dadurch
> bin ich auf A und auf C gekommen.
>
> Bei B habe ich dann x=0 eingesetzt um auf B zu kommen und
> dadurch bin ich dann auf B=1A-2B-2C und das ganze dann nach
> B aufgelöst.
>  Das hat bei mir eben dann -31,5 ergeben.
>  Das stimmt auch wahrscheinlich nicht....
>  
> lg

$ [mm] 6x^2+5x-16=A\cdot{}(x+1)^2+B\cdot{}(x-2)\cdot{}(x+1)+C\cdot{}(x-2) [/mm] $
ich setz mal x=-1 ein, damit entfallen die klammern (x+1) alle:
[mm] 6*1^2+5*(-1)-16=A*(0)+B*(0)+C*(-1-2) [/mm]
[mm] \gdw -15=C*(-3)\gdw [/mm] C=5

nun du die anderen beiden

gruß tee


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

ehm aber was ist denn mit (x-2) bei B?
warum wird das bei dir auch (0) wenn du x=-1 einsetzt?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:22 Do 14.01.2010
Autor: fencheltee

B*(x-2)*(x+1) mit x=-1 wird zu
B*(-1-2)*(-1+1)=B*(-3)*(0)=?

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

natürlich, entschuldigung für die frage....

Also für A habe ich das hier gerechnet:
x=2
[mm] 6*2^2+5(2)-16=A(2+1)^2+B(0)+C(0) [/mm]
18=9A
A=2

hoffe das stimmt jetzt mal...leider weiß ich nicht wie ich jetzt auf B komme, da ja B sowohl bei x=-1 und x=2 B(0) wird....

lg

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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Do 14.01.2010
Autor: Steffi21

Hallo, du hast nun A=2 und C=5, du hast das Problem für x=-1 und x=2 richtig erkannt, damit das nicht passiert nehme z.B. x=0

-16=2*1+B*(-2)*1+5*(-2)

B= ...

Steffi

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

ok, dann komme ich auf B=4
somit müsste die Lösung für die erste Aufgabe folgende sein:

[mm] \bruch{6x^2+5x-16}{x^3-3x-2}=\bruch{2}{x-2}+\bruch{4}{x+1}+\bruch{5}{(x+1)^2} [/mm]

sein oder?

Bezug
                                                                                                                                                                        
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Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Do 14.01.2010
Autor: Steffi21

Hallo und perfekt, Steffi

Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Do 14.01.2010
Autor: Tolpi

Super, vielen vielen Dank für eure Hilfe, 100000 Dank!!!

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