Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Di 07.09.2010 | | Autor: | dadario |
Hallo,
ich soll folgendes Integral per Partialbruchzerlegung berechnen.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^3+x^2+2x+2} dx}
[/mm]
ich habe bereits die faktorisierung durchgeführt und bin auf den Ansatz
[mm] \bruch{A}{(x+1)}+\bruch{Bx+C}{(x^2+2)}
[/mm]
gekommen.
Habe dann A,B,C ausgerechnet und komme auf die Werte A= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , B= - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und C = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Habe diese Werte dann in das Integral eingesetzt und bekomme nun
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^3+x^2+2x+2} dx}= \integral_{}^{}{\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{Bx+C}{(x^2+2)} dx}
[/mm]
da habe ich a,b,c eingesetzt und bekomme dann,
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] ln(x+1) - [mm] \bruch{1}{3} [\bruch{1}{2}ln(x^2+2) [/mm] - [mm] \bruch{2}{\wurzel{8}} [/mm] arctan [mm] \bruch{2x}{\wurzel{8}}] +\bruch{1}{3}[\bruch{2}{\wurzel{8}} [/mm] arctan [mm] \bruch{2x}{\wurzel{8}}] [/mm] +C
irgendwie hab ich das gefühl das ich irgendwo einen fehler gemacht habe, weil die lösung anders ist.
wäre super wenn mir jemnd nen tipp geben kann was ich falsch gemacht habe
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Hallo dadario,
> Hallo,
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> ich soll folgendes Integral per Partialbruchzerlegung
> berechnen.
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^3+x^2+2x+2} dx}[/mm]
>
> ich habe bereits die faktorisierung durchgeführt und bin
> auf den Ansatz
>
> [mm]\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{Bx+C}{(x^2+2)}[/mm]
> gekommen.
>
> Habe dann A,B,C ausgerechnet und komme auf die Werte A=
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] , B= - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] und C = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Habe diese Werte dann in das Integral eingesetzt und
> bekomme nun
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^3+x^2+2x+2} dx}= \integral_{}^{}{\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{Bx+C}{(x^2+2)} dx}[/mm]
>
> da habe ich a,b,c eingesetzt und bekomme dann,
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ln(x+1) - [mm]\bruch{1}{3} [\bruch{1}{2}ln(x^2+2)[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\wurzel{8}}[/mm] arctan [mm]\bruch{2x}{\wurzel{8}}] +\bruch{1}{3}[\bruch{2}{\wurzel{8}}[/mm]
> arctan [mm]\bruch{2x}{\wurzel{8}}][/mm] +C
>
> irgendwie hab ich das gefühl das ich irgendwo einen fehler
> gemacht habe, weil die lösung anders ist.
Die ersten beiden Interale sehen gut aus, am Ende ist ein bisschen viel [mm]\arctan[/mm] ...
Im letzten zu bestimmenden Integral steht -[mm]\frac{1}{3}\cdot{}\int{\frac{1}{x^2+2} \ dx}[/mm]
Hier klammere im Nenner 2 aus:
[mm]=- \frac{1}{3}\cdot{}\int{\frac{1}{2\cdot{}\left[\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right]} \ dx}[/mm]
[mm]=-\frac{1}{6}\cdot{}\int{\frac{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2+1} \ dx}[/mm]
Nun substituiere [mm]u=u(x):=\frac{x}{\sqrt{2}}[/mm]
>
> wäre super wenn mir jemnd nen tipp geben kann was ich
> falsch gemacht habe
Gruß
schachuzipus
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