Partialbruchzerlegung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Di 08.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man bestimme die Partialbruchzerlegung folgender folgender rationaler Funktionen.
a) [mm] f(x)=\bruch{36}{x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2} [/mm] |
Hallo^^
Ich versuche grad diese PBZ zu machen, aber irgendwie klappt es nicht ganz.
Wir hatten uns das so definert: [mm] f(x)=\bruch{p(x)}{q(x)}=r(x)+\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{r_{i}} \bruch{a_{ij}}{(x-x_{i})}, [/mm] wobei
r(x) ein Polynom vom Grad deg(p)-deg(q) ist,
[mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] sind die Polstellen der Vielfachheit [mm] r_{1},...,r_{n} [/mm] von f und [mm] a_{ij} [/mm] sind komplexe Zahlen.
Ich hab zuerst die Polstellen berechnet und habe:
[mm] x_{1}=1 [/mm] mit [mm] r_{1}=2, x_{2}=-1 [/mm] mit [mm] r_{2}=4 [/mm] und [mm] x_{3}=2 [/mm] mit [mm] r_{3}=1.
[/mm]
Dann hab ich
[mm] f(x)=\bruch{a_{11}}{(x-1)}+\bruch{a_{12}}{(x-1)^{2}}+\bruch{a_{21}}{x+1}+\bruch{a_{22}}{(x+1)^{2}}+\bruch{a_{23}}{(x+1)^{3}}+\bruch{a_{24}}{(x+1)^{4}}+\bruch{a_{31}}{(x-2)} [/mm] und das kann ich gleichsetzen mit
[mm] \bruch{36}{x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2}=\bruch{a_{11}}{(x-1)}+\bruch{a_{12}}{(x-1)^{2}}+\bruch{a_{21}}{x+1}+\bruch{a_{22}}{(x+1)^{2}}+\bruch{a_{23}}{(x+1)^{3}}+\bruch{a_{24}}{(x+1)^{4}}+\bruch{a_{31}}{(x-2)}.
[/mm]
Meine Frage ist jetzt, wie ich die [mm] a_{ij} [/mm] rausbekomme. Ich hab erstmal mit dem Nennerpolynom q(x) auf der linken Seite multipliziert.Dann hab ich zum Beispiel einen Summanden [mm] \bruch{a_{11}*x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2}{(x-1)}, [/mm] aber ich weiß nicht was ich hier noch zusammenfassen oder kürzen kann bzw. wie ich jetzt das [mm] a_{11} [/mm] rausbekomme.
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
Hallo Mandy_90,
> Man bestimme die Partialbruchzerlegung folgender folgender
> rationaler Funktionen.
>
> a) [mm]f(x)=\bruch{36}{x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2}[/mm]
> Hallo^^
>
> Ich versuche grad diese PBZ zu machen, aber irgendwie
> klappt es nicht ganz.
>
> Wir hatten uns das so definert:
> [mm]f(x)=\bruch{p(x)}{q(x)}=r(x)+\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{r_{i}} \bruch{a_{ij}}{(x-x_{i})},[/mm]
> wobei
>
> r(x) ein Polynom vom Grad deg(p)-deg(q) ist,
> [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] sind die Polstellen der Vielfachheit
> [mm]r_{1},...,r_{n}[/mm] von f und [mm]a_{ij}[/mm] sind komplexe Zahlen.
>
> Ich hab zuerst die Polstellen berechnet und habe:
> [mm]x_{1}=1[/mm] mit [mm]r_{1}=2, x_{2}=-1[/mm] mit [mm]r_{2}=4[/mm] und [mm]x_{3}=2[/mm] mit
> [mm]r_{3}=1.[/mm]
>
Da die Nullstelle [mm]x_{1}=1[/mm] die Vielfachheit [mm]r_{1}=2[/mm]
und die Nullstelle [mm]x_{3}=2[/mm] die Vielfachheit [mm]r_{3}=1[/mm]
hat, kann die Nullstelle [mm]x_{2}=-1[/mm] nich Vielfachheit [mm]r_{2}=4[/mm] haben.
> Dann hab ich
> [mm]f(x)=\bruch{a_{11}}{(x-1)}+\bruch{a_{12}}{(x-1)^{2}}+\bruch{a_{21}}{x+1}+\bruch{a_{22}}{(x+1)^{2}}+\bruch{a_{23}}{(x+1)^{3}}+\bruch{a_{24}}{(x+1)^{4}}+\bruch{a_{31}}{(x-2)}[/mm]
> und das kann ich gleichsetzen mit
Dieser Ansatz stimmt nicht.
>
> [mm]\bruch{36}{x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2}=\bruch{a_{11}}{(x-1)}+\bruch{a_{12}}{(x-1)^{2}}+\bruch{a_{21}}{x+1}+\bruch{a_{22}}{(x+1)^{2}}+\bruch{a_{23}}{(x+1)^{3}}+\bruch{a_{24}}{(x+1)^{4}}+\bruch{a_{31}}{(x-2)}.[/mm]
>
> Meine Frage ist jetzt, wie ich die [mm]a_{ij}[/mm] rausbekomme. Ich
> hab erstmal mit dem Nennerpolynom q(x) auf der linken Seite
> multipliziert.Dann hab ich zum Beispiel einen Summanden
> [mm]\bruch{a_{11}*x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2}{(x-1)},[/mm] aber
> ich weiß nicht was ich hier noch zusammenfassen oder
> kürzen kann bzw. wie ich jetzt das [mm]a_{11}[/mm] rausbekomme.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Da die Nullstelle [mm]x_{1}=1[/mm] die Vielfachheit [mm]r_{1}=2[/mm]
> und die Nullstelle [mm]x_{3}=2[/mm] die Vielfachheit [mm]r_{3}=1[/mm]
> hat, kann die Nullstelle [mm]x_{2}=-1[/mm] nich Vielfachheit [mm]r_{2}=4[/mm]
> haben.
>
Ok.Ich habe 4 Polynome,die hab ich nochmal nachgerechnet, die die Nullstelle -1 haben unzwar:
[mm] p_{1}(x)=x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2
[/mm]
[mm] p_{2}(x)=x^{4}-x^{3}-3x^{2}+x+2
[/mm]
[mm] p_{1}(x)=x^{3}-3x-2
[/mm]
[mm] p_{1}(x)=x^{2}-x-2
[/mm]
Dann ist doch die Vielfachheit 4 oder nicht? Wo liegt denn der Fehler?
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Da die Nullstelle [mm]x_{1}=1[/mm] die Vielfachheit [mm]r_{1}=2[/mm]
> > und die Nullstelle [mm]x_{3}=2[/mm] die Vielfachheit [mm]r_{3}=1[/mm]
> > hat, kann die Nullstelle [mm]x_{2}=-1[/mm] nich Vielfachheit [mm]r_{2}=4[/mm]
> > haben.
> >
>
> Ok.Ich habe 4 Polynome,die hab ich nochmal nachgerechnet,
> die die Nullstelle -1 haben unzwar:
>
> [mm]p_{1}(x)=x^{5}-2x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+x-2[/mm]
> [mm]p_{2}(x)=x^{4}-x^{3}-3x^{2}+x+2[/mm]
> [mm]p_{1}(x)=x^{3}-3x-2[/mm]
Das Polynom [mm] x^{3}-3x-2 [/mm] ist nicht durch (x-1) teilbar. Folglich ist an dieser Stelle Schluss und [mm] $x_{1}=1 [/mm] $ hat die Vielfachheit $ [mm] r_{1}=2$. [/mm]
Es gilt aber [mm] x^{3}-3x-2=(x+1)(x^{2}-x-2)=(x+1)^2(x-2). [/mm] Also ist die nächste Nullstelle [mm] x_2=-1 [/mm] mit Vielfachheit [mm] r_2=2. [/mm] Übrig bleibt [mm] x_3=2 [/mm] mit Vielfachheit [mm] r_3=1
[/mm]
> [mm]p_{1}(x)=x^{2}-x-2[/mm]
>
> Dann ist doch die Vielfachheit 4 oder nicht? Wo liegt denn
> der Fehler?
>
> Vielen Dank
> lg
LG
|
|
|
|
