Partialbruchzerlegung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie bitte
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2-\bruch{1}{4}} [/mm]
in geschlossener Form, d.h. in einer Darstellung die nur von n abhängt und kein Summenzeichen und keinen Laufindex verwendet.
Hinweis: [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2-\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(i+\bruch{1}{2})*(i-\bruch{1}{2})} [/mm] |
Hallo alle zusammen,
dieses ist meine erste Frage, ein Kommilitone brachte mich auf die Idee es einfach mal in einem Forum zu probieren, da mir bisher niemand Mathe näher bringen konnte... :(
Die obige Aufgabe war eine Klausuraufgabe. Nun habe ich die Musterlösung als Mitschrift dazubekommen, kann da aber nicht sonderlich viel mit anfangen (die Nebennotizen sind für mich nicht nachvollziehbar... ):
[mm] \bruch{1}{(i+\bruch{1}{2})*(i-\bruch{1}{2})}
[/mm]
= [mm] \bruch{A}{i+\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] \bruch{B}{i-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Dieser Schritt ist mir unklar, wieso kommt [mm] (i+\bruch{1}{2}) [/mm] bzw mit - über dem Strich dazu?
= [mm] \bruch{A(i-\bruch{1}{2}) + B(i+\bruch{1}{2})}{(i+\bruch{1}{2})*(i-\bruch{1}{2})}
[/mm]
Hier wird nur ausmultipliziert/ausgeklammert
[mm] =\bruch{(A+B)i+\bruch{1}{2}(A-B)}{(i+\bruch{1}{2})*(i-\bruch{1}{2})}
[/mm]
Und ab hier bin ich noch planloser...
[mm] \summe [/mm] ... = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i+\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}+ \bruch{1}{2-\bruch{1}{2}} [/mm] + ... + [mm] \bruch{1}{(n-1)-\bruch{1}{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n-\bruch{1}{2}}
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{2}} [/mm] - ... - [mm] \bruch{1}{n-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+\bruch{1}{2}}
[/mm]
alle gleich bis auf erster
[mm] 2-\bruch{1}{n+\bruch{1}{2}}
[/mm]
Folgendes stand als Nebennotiz am Rand:
A+B=0 -> A=-B
[mm] \bruch{1}{2}(B-A)=1
[/mm]
B-A=2
B-(-B)=2
B=1
A=-1
Wäre supernett, wenn jemand etwas Licht ins Dunkel bringen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo fuechsin151 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie bitte
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2-\bruch{1}{4}}[/mm]
> in geschlossener Form, d.h. in einer Darstellung die nur
> von n abhängt und kein Summenzeichen und keinen Laufindex
> verwendet.
> Hinweis: [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2-\bruch{1}{4}}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{(i+\bruch{1}{2})*(i-\bruch{1}{2})}[/mm]
>
> Hallo alle zusammen,
>
> dieses ist meine erste Frage, ein Kommilitone brachte mich
> auf die Idee es einfach mal in einem Forum zu probieren, da
> mir bisher niemand Mathe näher bringen konnte... :(
>
> Die obige Aufgabe war eine Klausuraufgabe. Nun habe ich die
> Musterlösung als Mitschrift dazubekommen, kann da aber
> nicht sonderlich viel mit anfangen (die Nebennotizen sind
> für mich nicht nachvollziehbar... ):
>
> [mm]\bruch{1}{(i+\bruch{1}{2})*(i-\bruch{1}{2})}[/mm]= [mm]\bruch{A}{i+\bruch{1}{2}}[/mm] + [mm]\bruch{B}{i-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Dieser Schritt ist mir unklar, wieso kommt [mm](i+\bruch{1}{2})[/mm]
> bzw mit - über dem Strich dazu?
Nun, das ist der ganz normale Ansatz einer Partialbruchzerlegung.
Wenn du hast [mm]\frac{1}{(x+x_0)\cdot{}(x-x_1)}[/mm], so lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung:
[mm]\frac{1}{(x+x_0)\cdot{}(x-x_1)}=\frac{A}{x+x_0}+\frac{B}{x-x_1}[/mm]
Schaue diesbzgl. mal auf wikipedia nach. Dort sind die verschiedenen Ansätze übersichtlich und gut erklärt ...
> = [mm]\bruch{A(i-\bruch{1}{2}) + B(i+\bruch{1}{2})}{(i+\bruch{1}{2})*(i-\bruch{1}{2})}[/mm]
>
> Hier wird nur ausmultipliziert/ausgeklammert
Jo, gleichnamig gemacht
>
> [mm]=\bruch{(A+B)i+\bruch{1}{2}(A-B)}{(i+\bruch{1}{2})*(i-\bruch{1}{2})}[/mm]
Hier ist das Ganze ausgerechnet und nach Potenzen von i sortiert im Zähler
>
> Und ab hier bin ich noch planloser...
> [mm]\summe[/mm] ... = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i-\bruch{1}{2}}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i+\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}+ \bruch{1}{2-\bruch{1}{2}}[/mm] + ... + [mm]\bruch{1}{(n-1)-\bruch{1}{2}}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n-\bruch{1}{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}[/mm] - ... - [mm]\bruch{1}{n-\bruch{1}{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n+\bruch{1}{2}}[/mm]
> alle gleich bis auf erster
>
> [mm]2-\bruch{1}{n+\bruch{1}{2}}[/mm]
Nun, wenn du die Koeffizienten aus dem PBZ-Ansatz berechnet hast, kannst du die anfänglich "komplizierte" Summe als Summe (bzw. Differenz) von 2 "einfachen" Summen darstellen.
Das ist eine sog. Teleskopsumme, in der sich die meisten Summanden wegheben.
Das kannst du einsehen, wenn du das wie in der Lösung mal ein bissl ausschreibst oder formal schöner durch eine Indexverschiebung:
[mm]\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}}=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i-\frac{1}{2}} \ - \ \sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i+\frac{1}{2}}[/mm]
Nun an der ersten Summe den Index i um 1 erniedrigen, dafür innerhalb der Summe um 1 erhöhen:
[mm]=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{1}{(i+1)-\frac{1}{2}} \ - \ \sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i+\frac{1}{2}}[/mm]
[mm]=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i+\frac{1}{2}} \ - \ \sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i+\frac{1}{2}}[/mm]
Und was kommt da heraus?
>
>
>
> Folgendes stand als Nebennotiz am Rand:
> A+B=0 -> A=-B
> [mm]\bruch{1}{2}(B-A)=1[/mm]
> B-A=2
> B-(-B)=2
> B=1
> A=-1
>
>
> Wäre supernett, wenn jemand etwas Licht ins Dunkel bringen
> könnte...
Das nennt sich Koeffizientenvergleich:
Mit der PBZ hast du nun berechnet:
[mm]\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}}=\bruch{(A+B)i+\bruch{1}{2}(A-B)}{i^2-\frac{1}{4}}[/mm]
Nun wird im Zähler ein Koeffizientenvergleich gemacht, ich schreib's mal farbig:
[mm]\frac{1}{i^2-\frac{1}{4}}=\bruch{(A+B)i+\bruch{1}{2}(A-B)}{i^2-\frac{1}{4}}[/mm]
[mm]\gdw\frac{\red{0}\cdot{}i+\blue{1}}{i^2-\frac{1}{4}}=\bruch{\red{(A+B)}i+\blue{\bruch{1}{2}(A-B)}}{i^2-\frac{1}{4}}[/mm]
So kommst du auf das oben stehende Gleichungssystem, aus dem du die Koeffizienten [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] berechnen kannst.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
>
|
|
|
|
