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Forum "Integration" - Partialbruchzerlegung
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Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Mo 18.06.2012
Autor: Stift

Hallo, ich soll folgende Stammfkt. bilden:
[mm] i)\integral_{0}^{1/2}{\bruch{x^{4}}{x^{4}-1} dx} [/mm]
[mm] ii)\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx} [/mm]

Also bei i) habe ich
erstmal ein Polynomdivision durchgeführt: [mm] x^{4}:x^{4}-1= [/mm] 1 rest 1also betrachtet man [mm] \bruch{1}{x^{4}-1} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}... [/mm] Ich weiß hier jetzt nicht wie ich diese Nenner bestimmen soll. Also wie viele Konstanten A,B,C,D,E.. und wie viel x-1 und ob ich welche mit Exponenten schreiben soll.
ii)Hier habe ich auch zuerst polynomdivi. durchgeführt: [mm] {x^{3}}:{x^{2}-5x+4}= [/mm] x+5 rest 21x-20
also betrachtet man [mm] \bruch{21x-20}{x^{2}-5x+4}= \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x-4} [/mm] koeffizientenvergleich liefert A=-1/3 und B=64/3
[mm] -->\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}=\integral_{2}^{3}{\bruch{-1/3}{x-1} dx}+\integral_{2}^{3}{\bruch{64/3}{x-4} dx}=(-1/3log(2)+64/3log(-1))-(-1/3log(1)+64/3log(-2)) [/mm] stimmt das so??


Gruß

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Mo 18.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Stift,

> Hallo, ich soll folgende Stammfkt. bilden:
>  [mm]i)\integral_{0}^{1/2}{\bruch{x^{4}}{x^{4}-1} dx}[/mm]
>  
> [mm]ii)\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}[/mm]
>  
> Also bei i) habe ich
> erstmal ein Polynomdivision durchgeführt: [mm]x^{4}:x^{4}-1=[/mm] 1
> rest 1also betrachtet man [mm]\bruch{1}{x^{4}-1}[/mm] =
> [mm]\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}...[/mm] Ich weiß hier jetzt nicht
> wie ich diese Nenner bestimmen soll. Also wie viele
> Konstanten A,B,C,D,E.. und wie viel x-1 und ob ich welche
> mit Exponenten schreiben soll.


Der Ansatz lautet hier:

[mm]\bruch{1}{x^{4}-1} = \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\blue{\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}}[/mm]


>  ii)Hier habe ich auch zuerst polynomdivi. durchgeführt:
> [mm]{x^{3}}:{x^{2}-5x+4}=[/mm] x+5 rest 21x-20
>  also betrachtet man [mm]\bruch{21x-20}{x^{2}-5x+4}= \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x-4}[/mm]
> koeffizientenvergleich liefert A=-1/3 und B=64/3
>  [mm]-->\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}=\integral_{2}^{3}{\bruch{-1/3}{x-1} dx}+\integral_{2}^{3}{\bruch{64/3}{x-4} dx}=(-1/3log(2)+64/3log(-1))-(-1/3log(1)+64/3log(-2))[/mm]


Hier hast Du vergessen x+5 auch noch zu integrieren:

[mm]\integral_{2}^{3}{\bruch{x^{3}}{x^{2}-5x+4} dx}=\blue{\integral_{2}^{3}{x+5 \ dx}}+\integral_{2}^{3}{\bruch{-1/3}{x-1} dx}+\integral_{2}^{3}{\bruch{64/3}{x-4} dx}[/mm]


> stimmt das so??
>  
> Gruß


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Mo 18.06.2012
Autor: Stift

Hallo, danke.


> Der Ansatz lautet hier:
>  
> [mm]\bruch{1}{x^{4}-1} = \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\blue{\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}}[/mm]

Ok, aber warum Cx+D und nicht einfach nur C und D und woher weißt du dass du bei D aufhören musst. Warum [mm] x^{2} [/mm] und warum nicht weiter mit [mm] x^{3} [/mm] und [mm] x^{4}?? [/mm]

Tutmirleid, aber mir ist das einfach nicht klar
Gruß

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Mo 18.06.2012
Autor: MathePower

Hallo Stift,

> Hallo, danke.
>  
>
> > Der Ansatz lautet hier:
>  >  
> > [mm]\bruch{1}{x^{4}-1} = \bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x+1}+\blue{\bruch{Cx+D}{x^{2}+1}}[/mm]
>  
> Ok, aber warum Cx+D und nicht einfach nur C und D und woher


Nun, weil [mm]x^{2}+1[/mm] keine reellen Nullstellen hat.


> weißt du dass du bei D aufhören musst. Warum [mm]x^{2}[/mm] und
> warum nicht weiter mit [mm]x^{3}[/mm] und [mm]x^{4}??[/mm]
>


Das Nennerpolynom kann wie folgt zerlegt werden:

[mm]x^{4}-1=\left(x-1\right)*\left(x+1\right)*\left(x^{2}+1\right)[/mm]



> Tutmirleid, aber mir ist das einfach nicht klar
>  Gruß



Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Mo 18.06.2012
Autor: Stift

Hallo,
danke für die super schnelle Hilfe.

Gruß

Bezug
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