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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Molch |
Hallo!
Ich habe zwei Fragen zu Aufgaben bzgl. der Partialbruchzerlegung in reelle Partialbrüche:
1. Die Funktion lautet:
f(x) = [mm] \bruch{x^2}{(x^2-4)(x+1)}
[/mm]
Nun habe ich die Nullstellen des Nennerpolynoms berechnet:
[mm] x_{0} [/mm] = -1
[mm] x_{1} [/mm] = 2
[mm] x_{2} [/mm] = -2
Ich habe also folgende Zerlegung:
[mm] \bruch{x^2}{(x^2-4)(x+1)}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B}{x-2}+\bruch{C}{x+2}
[/mm]
Wenn ich nun mit dem Hauptnenner multipliziere erhalte ich folgende Gleichung, in die ich die Nullstellen einsetze und somit auf A,B und C komme:
[mm] x^2=A(x^2-4)+B(x+2)(x-1)+C(x+1)(x-2)
[/mm]
A=-1
B=1
C=1
Was folgende Zerlegung ergeben würde:
[mm] y=-\bruch_{1}{x+1}+\bruch{1}{x-1}+\bruch{1}{x+2}
[/mm]
Der Lösung zu Folge müsste jedoch
[mm] A=-\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] B=\bruch{1}{3}
[/mm]
Wo liegt mein Rechenfehler?
2. Wieder eine Partialbruchzerlegung:
[mm] f(x)=\bruch{x}{x^3+5x^2+19x-25}
[/mm]
Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind:
[mm] x_{0}=1
[/mm]
Diese im Hornerschema auf das Nennerpolynom angewandt, ergibt eine quadratische Gleichung 2. Ordnung, die jedoch keine reelle Lösung hat:
[mm] y=x^2+6x+25
[/mm]
Also bin ich von folgender Zerlegung ausgegangen:
[mm] y=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x^2+6x+25}
[/mm]
Was nach der Multiplikation mit dem Hauptnenner ergab:
[mm] x=A(x^2+6x+25)+B(x-1)
[/mm]
Die Nullstelle [mm] x_{0}, [/mm] sowie beim zweiten mal x=0 eingesetzt ergibt:
[mm] A=\bruch{1}{32}
[/mm]
[mm] B=\bruch{25}{32}
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{32}(\bruch{1}{x-1}+\bruch{25}{x^2+6x+25})
[/mm]
Die böse Lösung sagt jedoch mal wieder etwas anderes:
[mm] y=\bruch{1}{32}(\bruch{1}{x-1}+\bruch{25-x}{x^2+6x+25})
[/mm]
Muss ich mit komplexen Nullstellen rechnen? Dann dürfte es aber schwer werden eine rein reelle Lösung zu erhalten?!
Vielen Dank für eure Mühe!
Gruß, Molch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo!
Ich denke, bei der 1. Aufgabe hast du folgendes falsch gemacht:
> Wenn ich nun mit dem Hauptnenner multipliziere erhalte ich
> folgende Gleichung, in die ich die Nullstellen einsetze und
> somit auf A,B und C komme:
>
> [mm]x^2=A(x^2-4)+B(x+2)(x-1)+C(x+1)(x-2)[/mm]
>
Hier erhalte ich [mm] $x^2=A(x^2-4)+B(x+2)(x+1)+C(x+1)(x-2)$
[/mm]
(Vorzeichenfehler beim 2. Faktor bei B.
Die zweite Aufgabe kann ich nicht nachvollziehen!
Stimmt die Aufgabenstellung überhaupt mit der Lösung überein?
Zum Beispiel ist ja 1 sicher keine Nullstelle des Nenners (eher -1)
Bitte überprüfe das nochmals nach und korrigiere allenfalls.
Gruss
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Molch |
Danke!
Tut mir leid, bei der 2. Frage bin ich in der Zeile verrutscht. Ich habe es korrigiert, hier noch einmal die richtige Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{x}{x^3+5x^2+19x-25}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
> Danke!
>
> Tut mir leid, bei der 2. Frage bin ich in der Zeile
> verrutscht. Ich habe es korrigiert, hier noch einmal die
> richtige Funktion:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x}{x^3+5x^2+19x-25}[/mm]
Na, das sieht ja wesentlich anders aus!
Hier ergibt sich also:
[mm] $\bruch{x}{(x-1)(x^2+6x+25)}$
[/mm]
Dein Fehler ist folgender:
Du setzt so an:
[mm] $\bruch{x}{(x-1)(x^2+6x+25)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x^2+6x+25}$
[/mm]
Korrekt ist aber (bitte in der Theorie nochmals nachschauen):
[mm] $\bruch{x}{(x-1)(x^2+6x+25)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^2+6x+25}$
[/mm]
Gruss
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo
Dein Fehler ist folgender:
Du setzt so an:
[mm] $\bruch{x}{(x-1)(x^2+6x+25)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B}{x^2+6x+25}$
[/mm]
Korrekt ist aber (bitte in der Theorie nochmals nachschauen):
[mm] $\bruch{x}{(x-1)(x^2+6x+25)}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^2+6x+25}$
[/mm]
Gruss
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Molch |
Dieser Ausdruck war mir noch nicht bekannt.
Danke für die Hilfe!
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