Partialsumme bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 18.12.2013 | | Autor: | tonno |
Ich arbeite gerade das Buch Analysis 1 von Forster zur Wiederholung durch. An einer Aufgabe komme Ich nicht wirklich weiter. Es geht darum, das unendliche Produkt von [mm] \produkt_{n=2}^{\infty}\bruch{n^3 -1}{n^3 +1} [/mm] zu bestimmen. Nun brauche Ich ja die Partialsumme. Und da komme Ich nicht weiter. Nach WolframAlpha ergibt sich
[mm] \produkt_{n=2}^{m}\bruch{n^3 -1}{n^3 +1}=\bruch{2(m^2+m+1)}{3m(m+1)}
[/mm]
Aber wie komme Ich darauf?
Meine Idee war hierbei, erstmal alles aufzudröseln 'a la:
[mm] \produkt_{n=2}^{m}\bruch{n^3 -1}{n^3 +1}=\bruch{(2^3-1)(3^3-1)\cdots ((m-1)^2-1)(m^3-1)}{(2^3+1)(3^3+1)\cdots ((m-1)^3+1)(m^3+1)}
[/mm]
Ich kann mir aber keinen Reim darauf machen, wie Ich das jetzt weiter vereinfachen kann. Oder ist das schon der Holzweg?
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Hiho,
eine Möglichkeit die Formel zu beweisen, wäre vollständige Induktion. Damit dürfte das auch recht fix gehen.
Wenn du wissen willst, wie man darauf kommt..... da gibt es viele Möglichkeiten.
Es gab sicherlich Menschen, die das einfach so "gesehen" haben, andere, die durch rumprobieren drauf gekommen sind.
Eine andere Möglichkeit, da rechnerisch drauf zu kommen, wäre: Sieh den Zähler und Nenner mal als "Polynom" und "errate" jeweils eine offensichtliche Nullstelle. Zerlege dann die jeweiligen Polynome und beachte dann, dass gilt: $(x+1) ^2 - (x+1) + 1 = [mm] x^2 [/mm] + x + 1$
Dann kürzt sich einiges raus aus dem Produkt und übrig bleibt der Endterm 
Gruß,
Gono.
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